Тяготе'ние,гравитация, гравитационное взаимодействие, универсальное взаимодействие между любыми видами материи. Если это взаимодействие относительно слабое и тела движутся медленно (по сравнению со скоростью света), то справедлив закон всемирного тяготения Ньютона. В общем случае Т. описывается созданной А.
общей теорией относительности. Эта теория описывает Т. как воздействие материи на свойства пространства и времени; в свою очередь, эти свойства пространства-времени влияют на движение тел и др. физические процессы. Таким образом, современная теория Т. резко отличается от теории других видов взаимодействия — электромагнитного, сильного и слабого.
Теория тяготения Ньютона
Первые высказывания о Т. как всеобщем свойстве тел относятся к античности. Так,
писал: «Луна упала бы на Землю как камень, чуть только уничтожилась бы сила её полёта».
В 16 и 17 вв. в Европе возродились попытки доказательства существования взаимного тяготения тел. Основатель теоретической астрономии И.
говорил, что «тяжесть есть взаимное стремление всех тел». Итальянский физик Дж. Борелли пытался при помощи Т. объяснить движение спутников Юпитера вокруг планеты. Однако научное доказательство существования всемирного Т. и математическая формулировка описывающего его закона стали возможны только на основе открытых И.
законов механики. Окончательная формулировка закона всемирного Т. была сделана Ньютоном в вышедшем в 1687 главном его труде «Математические начала натуральной философии».
гласит, что две любые материальные частицы с массами
m
Аи
m
Впритягиваются по направлению друг к другу с силой
F,прямо пропорциональной произведению масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния
rмежду ними:
(1)
(под материальными частицами здесь понимаются любые тела при условии, что их линейные размеры много меньше расстояния между ними; см.
)
.Коэффициент пропорциональности
Gназывается постоянной тяготения Ньютона, или
.Численное значение
Gбыло определено впервые английским физиком Г.
(1798), измерившим в лаборатории силы притяжения между двумя шарами. По современным данным,
G= (6,673 ± 0,003)Ч10
-8
см
3/гЧ
сек
2.
Следует подчеркнуть, что сама форма закона Т. (1) (пропорциональность силы массам и обратная пропорциональность квадрату расстояния) проверена с гораздо большей точностью, чем точность определения коэффициента G. Согласно закону (1), сила Т. зависит только от положения частиц в данный момент времени, то есть гравитационное взаимодействие распространяется мгновенно. Другой важной особенностью закона тяготения Ньютона является тот факт, что сила Т., с которой данное тело
Апритягивает другое тело
В,пропорциональна массе тела
В.Но так как ускорение, которое получает тело
В,согласно второму закону механики, обратно пропорционально его массе, то ускорение, испытываемое телом
Впод влиянием притяжения тела
А,не зависит от масса тела
В.Это ускорение носит название ускорения свободного падения. (Более подробно значение этого факта обсуждается ниже.)
Для того чтобы вычислить силу Т., действующую на данную частицу со стороны многих др. частиц (или от непрерывного распределения вещества в некоторой области пространства), надо векторно сложить силы, действующие со стороны каждой частицы (проинтегрировать в случае непрерывного распределения вещества). Таким образом, в ньютоновской теории Т. справедлив принцип суперпозиции. Ньютон теоретически доказал, что сила Т. между двумя шарами конечных размеров со сферически симметричным распределением вещества выражается также формулой (1), где
m
Аи
m
В—полные массы шаров, а
r —расстояние между их центрами.
При произвольном распределении вещества сила Т., действующая в данной точке на пробную частицу, может быть выражена как произведение массы этой частицы на вектор
g,называемый напряжённостью поля Т. в данной точке. Чем больше величина (модуль) вектора
g,тем сильнее поле Т.
Из закона Ньютона следует, что поле Т. — потенциальное поле, то есть его напряжённость
gможет быть выражена как градиент некоторой скалярной величины j, называемым гравитационным потенциалом:
g= —grad j. (2)
Так, потенциал поля Т. частицы массы
mможет быть записан в виде:
. (3)
Если задано произвольное распределение плотности вещества в пространстве, r = r(
r), то теория потенциала позволяет вычислить гравитационный потенциал j этого распределения, а следовательно, и напряжённость гравитационного поля
gво всём пространстве. Потенциал j определяется как решение
.
Dj = 4p
Gr, (4)
где D —
.
Гравитационный потенциал какого-либо тела или системы тел может быть записан в виде суммы потенциалов частичек, слагающих тело или систему (принцип суперпозиции), то есть в виде интеграла от выражений (3):
(4a)
Интегрирование производится по всей массе тела (или системы тел),
r— расстояние элемента массы
dmот точки, в которой вычисляется потенциал. Выражение (4a) является решением уравнения Пуассона (4). Потенциал изолированного тела или системы тел определяется, вообще говоря, неоднозначно. Так, например, к потенциалу можно прибавлять произвольную константу. Если потребовать, чтобы вдали от тела или системы, на бесконечности, потенциал равнялся нулю, то потенциал определяется решением уравнения Пуассона однозначно в виде (4a).
Ньютоновская теория Т. и ньютоновская механика явились величайшим достижением естествознания. Они позволяют описать с большой точностью обширный круг явлений, в том числе движение естественных и искусственных тел в Солнечной системе, движения в др. системах небесных тел: в двойных звёздах, в звёздных скоплениях, в галактиках. На основе теории тяготения Ньютона было предсказано существование неизвестной ранее планеты Нептун и спутника Сириуса и сделаны многие др. предсказания, впоследствии блестяще подтвердившиеся. В современной астрономии закон тяготения Ньютона является фундаментом, на основе которого вычисляются движения и строение небесных тел, их эволюция, определяются массы небесных тел. Точное определение гравитационного поля Земли позволяет установить распределение масс под её поверхностью (гравиметрическая разведка) и, следовательно, непосредственно решать важные прикладные задачи. Однако в некоторых случаях, когда поля Т. становятся достаточно сильными, а скорости движения тел в этих полях не малы по сравнению со скоростью света, Т. уже не может быть описано законом Ньютона.
Необходимость обобщения закона тяготения НьютонаТеория Ньютона предполагает мгновенное распространение Т. и уже поэтому не может быть согласована со специальной теорией относительности (см.
)
,утверждающей, что никакое взаимодействие не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Нетрудно найти условия, ограничивающие применимость ньютоновской теории Т. Так как эта теория не согласуется со специальной теорией относительности, то её нельзя применять в тех случаях, когда гравитационные поля настолько сильны, что разгоняют движущиеся в них тела до скорости порядка скорости света
с.Скорость, до которой разгоняется тело, свободно падающее из бесконечности (предполагается, что там оно имело пренебрежимо малую скорость) до некоторой точки, равна по порядку величины корню квадратному из модуля гравитационного потенциала j в этой точке (на бесконечности j считается равным нулю). Таком образом, теорию Ньютона можно применять только в том случае, если
|
j| <<
c
2. (5)
В полях Т. обычных небесных тел это условие выполняется: так, на поверхности Солнца |
j|/
c
2» 4Ч10
-6, а на поверхности белых карликов — порядка 10
-3.
Кроме того, ньютоновская теория неприменима и к расчёту движения частиц даже в слабом поле Т., удовлетворяющем условию (5), если частицы, пролетающие вблизи массивных тел, уже вдали от этих тел имели скорость, сравнимую со скоростью света. В частности, теория Ньютона неприменима для расчёта траектории света в поле Т. Наконец, теория Ньютона неприменима при расчётах переменного поля Т., создаваемого движущимися телами (например, двойными звёздами) на расстояниях
r>
l=
сt,где
t— характерное время движения в системе (например, период обращения в системе двойной звезды). Действительно, согласно ньютоновской теории, поле Т. на любом расстоянии от системы определяется формулой (4a), то есть положением масс в тот же момент времени, в который определяется поле. Это означает, что при движении тел в системе изменения гравитационного поля, связанные с перемещением тел, мгновенно передаются на любое расстояние
r.Но, согласно специальной теории относительности, изменение поля, происходящее за время t, не может распространяться со скоростью, большей
с.
Обобщение теории Т. на основе специальной теории относительности было сделано А. Эйнштейном в 1915—16. Новая теория была названа её творцом общей теорией относительности.
Принцип эквивалентностиСамой важной особенностью поля Т., известной в ньютоновской теории и положенной Эйнштейном в основу его новой теории, является то, что Т. совершенно одинаково действует на разные тела, сообщая им одинаковые ускорения независимо от их массы, химического состава и др. свойств. Так, на поверхности Земли все тела падают под влиянием её поля Т. с одинаковым ускорением — ускорением свободного падения. Этот факт был установлен опытным путём ещё Г.
и может быть сформулирован как принцип строгой пропорциональности гравитационной, или тяжёлой, массы
m
T,определяющей взаимодействие тела с полем Т. и входящей в закон (1), и инертной массы
m
И,определяющей сопротивление тела действующей на него силе и входящей во второй закон механики Ньютона (см.
)
.Действительно, уравнение движения тела в поле Т. записывается в виде:
m
Иа = F = m
Tg,(6)
где
а —ускорение, приобретаемое телом под действием напряжённости гравитационного поля
g.Если
m
Ипропорциональна
m
Ти коэффициент пропорциональности одинаков для любых тел, то можно выбрать единицы измерения так, что этот коэффициент станет равен единице,
m
И= m
Т;тогда они сокращаются в уравнении (6), и ускорение а не зависит от массы и равно напряжённости
gполя Т.,
а=
g, в согласии с законом Галилея. (О современном опытном подтверждении этого фундаментального факта см. ниже.)
Таким образом, тела разной массы и природы движутся в заданном поле Т. совершенно одинаково, если их начальные скорости были одинаковыми. Этот факт показывает глубокую аналогию между движением тел в поле Т. и движением тел в отсутствие Т., но относительно ускоренной системы отсчёта. Так, в отсутствие Т. тела разной массы движутся по инерции прямолинейно и равномерно. Если наблюдать эти тела, например, из кабины космического корабля, который движется вне полей Т. с постоянным ускорением за счёт работы двигателя, то, естественно, по отношению к кабине все тела будут двигаться с постоянным ускорением, равным по величине и противоположным по направлению ускорению корабля. Движение тел будет таким же, как падение с одинаковым ускорением в постоянном однородном поле Т. Силы инерции, действующие в космическом корабле, летящем с ускорением, равным ускорению свободного падения на поверхности Земли, неотличимы от сил гравитации, действующих в истинном поле Т. в корабле, стоящем на поверхности Земли. Следовательно, силы инерции в ускоренной системе отсчёта (связанной с космическим кораблём) эквивалентны гравитационному полю. Этот факт выражается принципом эквивалентности Эйнштейна. Согласно этому принципу, можно осуществить и процедуру обратную описанной выше имитации поля Т. ускоренной системой отсчёта, а именно, можно «уничтожить» в данной точке истинное гравитационное поле введением системы отсчёта, движущейся с ускорением свободного падения. Действительно, хорошо известно, что в кабине космического корабля, свободно (с выключенными двигателями) движущегося вокруг Земли в её поле Т., наступает состояние невесомости — не проявляются силы тяготения. Эйнштейн предположил, что не только механическое движение, но и вообще все физические процессы в истинном поле Т., с одной стороны, и в ускоренной системе в отсутствие Т., с другой стороны, протекают по одинаковым законам. Этот принцип получил название «сильного принципа эквивалентности» в отличие от «слабого принципа эквивалентности», относящегося только к законам механики.
Основная идея теории тяготения Эйнштейна
Рассмотренная выше система отсчёта (космический корабль с работающим двигателем), движущаяся с постоянным ускорением в отсутствие поля Т., имитирует только однородное гравитационное поле, одинаковое по величине и направлению во всём пространстве. Но поля Т., создаваемые отдельными телами, не таковы. Для того чтобы имитировать, например, сферическое поле Т. Земли, нужны ускоренные системы с различным направлением ускорения в различных точках. Наблюдатели в разных системах, установив между собой связь, обнаружат, что они движутся ускоренно друг относительно друга, и тем самым установят отсутствие истинного поля Т. Таким образом, истинное поле Т. не сводится просто к введению ускоренной системы отсчёта в обычном пространстве, или, говоря точнее, в пространстве-времени специальной теории относительности. Однако Эйнштейн показал, что если, исходя из принципа эквивалентности, потребовать, чтобы истинное гравитационное поле было эквивалентно локальным соответствующим образом ускоренным в каждой точке системам отсчёта, то в любой конечной области пространство-время окажется искривленным — неевклидовым. Это означает, что в трёхмерном пространстве геометрия, вообще говоря, будет неевклидовой (сумма углов треугольника не равна
p,отношение длины окружности к радиусу не равно 2
pи т.д.), а время в разных точках будет течь по-разному. Таким образом, согласно теории тяготения Эйнштейна, истинное гравитационное поле является не чем иным, как проявлением искривления (отличия геометрии от евклидовой) четырёхмерного пространства-времени.
Следует подчеркнуть, что создание теории тяготения Эйнштейна стало возможным только после открытия неевклидовой геометрии русским математиком Н. И.
, венгерским математиком Я.
, немецкими математиками К.
и Б.
.
В отсутствие Т. движение тела по инерции в пространстве-времени специальной теории относительности изображается прямой линией, или, на математическом языке, экстремальной (геодезической) линией. Идея Эйнштейна, основанная на принципе эквивалентности и составляющая основу теории Т., заключается в том, что и в поле Т. все тела движутся по геодезическим линиям в пространстве-времени, которое, однако, искривлено, и, следовательно, геодезические линии уже не прямые.
Массы, создающие поле Т., искривляют пространство-время. Тела, которые движутся в искривленном пространстве-времени, и в этом случае движутся по одним и тем же геодезическим линиям независимо от массы или состава тела. Наблюдатель воспринимает это движение как движение по искривленным траекториям в трёхмерном пространстве с переменной скоростью. Но с самого начала в теории Эйнштейна заложено, что искривление траектории, закон изменения скорости — это свойства пространства-времени, свойства геодезических линий в этом пространстве-времени, а следовательно, ускорение любых различных тел должно быть одинаково и, значит, отношение тяжёлой массы к инертной [от которого зависит ускорение тела в заданном поле Т., см. формулу (6)] одинаково для всех тел, и эти массы неотличимы. Таким образом, поле Т., по Эйнштейну, есть отклонение свойств пространства-времени от свойств плоского (не искривлённого) многообразия специальной теории относительности.
Вторая важная идея, лежащая в основе теории Эйнштейна, — утверждение, что Т., то есть искривление пространства-времени, определяется не только массой вещества, слагающего тело, но и всеми видами энергии, присутствующими в системе. Эта идея явилась обобщением на случай теории Т. принципа эквивалентности массы (
m) и энергии (
Е) специальной теории относительности, выражающейся формулой
Е = mс
2
.Согласно этой идее, Т. зависит не только от распределения масс в пространстве, но и от их движения, от давления и натяжений, имеющихся в телах, от электромагнитного поля и всех др. физических полей.
Наконец, в теории тяготения Эйнштейна обобщается вывод специальной теории относительности о конечной скорости распространения всех видов взаимодействия. Согласно Эйнштейну, изменения гравитационного поля распространяются в вакууме со скоростью
с.
Уравнения тяготения Эйнштейна
В специальной теории относительности в
квадрат четырёхмерного «расстояния» в пространстве-времени (интервала
ds) между двумя бесконечно близкими событиями записывается в виде:
ds
2
=(
cdt)
2
- dx
2
- dy
2
- dz
2(7)
где
t —время,
х, у, z— прямоугольные декартовы (пространственные) координаты. Эта система координат называется галилеевой. Выражение (7) имеет вид, аналогичный выражению для квадрата расстояния в евклидовом трёхмерном пространстве в декартовых координатах (с точностью до числа измерений и знаков перед квадратами дифференциалов в правой части). Такое пространство-время называют плоским, евклидовым, или, точнее, псевдоевклидовым, подчёркивая особый характер времени: в выражении (7) перед (
cdt)
2стоит знак «+», в отличие от знаков «—» перед квадратами дифференциалов пространственных координат. Таким образом, специальная теория относительности является теорией физических процессов в плоском пространстве-времени (пространстве-времени Минковского; см.
).
В пространстве-времени Минковского не обязательно пользоваться декартовыми координатами, в которых интервал записывается в виде (7). Можно ввести любые криволинейные координаты. Тогда квадрат интервала
ds
2будет выражаться через эти новые координаты общей квадратичной формой:
