Смежность (соприкосновение) есть свойство, обнаруживаемое зрением и осязанием. Две части зрительного поля являются смежными, если их видимые расстояния и их угловые координаты (вверху-внизу, направо-налево) отличаются очень мало. Две части моего тела соприкасаются, если качества, с помощью которых я локализую прикосновение в этих двух частях, отличаются очень мало. Соприкосновение квантитативно и поэтому позволяет нам получить последовательность восприятий: если А, В и C соприкасаются, но B больше соприкасается с A и C, чем они между собой, то B должно быть помещено между A и C. Имеется также смежность и во времени. Когда мы слышим предложение, первое и второе слова более смежны друг с другом, чем первое и третье. Таким способом, посредством пространственной и временной смежности, элементы нашего опыта могут быть организованы в упорядоченное многообразие. Мы можем признать, что это упорядоченное многообразие является частью упорядоченного многообразия физических событий и упорядочено тем же самым отношением.
      Что касается меня, то я все-таки предпочитаю отношение "сосуществования". Если мы используем это отношение, то мы предполагаем, что каждое событие занимает какое-то ограниченное количество пространства-времени; это значит, что ни одно событие не ограничено одной точкой пространства или одним моментом времени. О двух событиях можно сказать, что они "сосуществуют", когда они совмещаются в пространстве-времени; это является определением для абстрактной физики. Но нам необходимо, как мы видели, определение, полученное из опыта. В качестве наглядного определения из опыта я дал бы следующее: два события "сосуществуют", когда они относятся друг к другу так же, как относятся друг к другу две одновременные части одного опыта. В каждый данный момент я вижу определенные вещи, слышу другие, осязаю третьи, вспоминаю четвертые и ожидаю пятые. Все эти восприятия, воспоминания и ожидания происходят во мне сейчас; я скажу, что они взаимно "сосуществуют". Я полагаю, что это отношение, которое я знаю из своего собственного опыта, может также иметь место между событиями, остающимися вне опыта, и может быть отношением, посредством которого конструируется порядок пространства-времени. Это будет иметь следствием то, что два события оказываются сосуществующими, когда они совмещаются в пространстве-времени, что, если пространственно-временной порядок берется как уже определенный, может в "пределах физики" служить в качестве определения сосуществования.
      Сосуществование не есть то же самое, что и одновременность, хотя последнее и предполагает ее. Сосуществование, как я его понимаю, должно рассматриваться как нечто известное из опыта и имеющее только наглядное определение. Я также не определил бы "сосуществование" как "одновременность в опыте одного человека". Я протестовал бы против этого определения по двум основаниям: во-первых, потому, что его нельзя было бы распространить на те физические явления, которые не попадают ни в чей опыт; во-вторых, потому, что "опыт" представляет собой неопределенное слово. Я сказал бы, что событие "переживается в опыте", когда оно дает начало привычке, и что вообще это происходит только в том случае, если событие совершается там, где есть живая материя. Если это правильно, то "опыт" не является основоположным понятием.
      Но теперь встает вопрос: можем ли мы построить пространственно-временной порядок из одного сосуществования или нам нужно для этого что-то еще? Возьмем более простую гипотезу. Предположим, что имеется n событий a1, a2, ... аn, и предположим, что at сосуществует только с а2, а2 сосуществует с a1 и a3, aз - с a2 и a4 и так далее. Тогда мы можем построить порядок a1, a2,... an. Мы скажем, что событие находится "между" двумя другими, если оно сосуществует с обоими, но они притом не сосуществуют друг с другом; и в более общем виде: если a, b, c суть три разных события, мы скажем, что b находится "между" a и c, если события, сосуществующие и c a и c c, представляют собой подлинную часть событий, сосуществующих с b. Это можно рассматривать как определение отношения "между". Дополненное соответствующими аксиомами, оно может лечь в основу того порядка, который нам нужен.
      Следует заметить, что мы не можем построить пространственно-временного порядка из эйнштейновского отношения "интервала". Интервал между двумя отрезками луча света равен нулю, и все же мы должны различать световой луч, который идет от A к В, и луч, идущий от В к А. Это показывает, что одного "интервала" недостаточно.
      Если принять вышеупомянутое рассуждение, то точки пространства-времени становятся классами событий. Я разбирал этот вопрос в книге "Анализ материи" и в главах VI и VIII этой части и не буду поэтому больше его касаться.
      Этого достаточно для определения пространственно-временного порядка в терминах опыта. Остается восстановить связь физических событий, совершающихся во внешнем мире, с восприятиями.
      Когда энергия, испускаемая материей в результате квантовых переходов, движется без дальнейших квантовых переходов к данной части человеческого тела, она служит началом цепи квантовых переходов, которые в конце концов достигают мозга. Из правила "Одна и та же причина - одно и то же действие" с его следствием, "Разные действия - разные причины" вытекает, что если две линии лучистой энергии, падая на одну и ту же точку тела, становятся причинами различных восприятий, то должно быть различие в этих двух линиях и, следовательно, и в квантовых переходах, которые дают им начало. При допущении существования причинных законов этот аргумент кажется бесспорным и дает основание для вывода от восприятий к материальному источнику того процесса, посредством которого они создаются.
      Я думаю - хотя и говорю это с уверенностью,- что различение между пространственным и временным расстоянием требует рассмотрения причинных законов. Это значит, что если есть причинный закон, связывающий событие А с событием В, то А и В разделены во времени и делом условия является, будем ли мы считать их также разделенными и в пространстве. В этом понимании содержатся, однако, некоторые трудности. Множество людей может слышать или видеть что-либо одновременно, и в этом случае имеется причинная связь без временного интервала. Но в таком случае связь не прямая, подобно отношению, связывающему родных или двоюродных братьев; это значит, что она идет сначала от действия к причине, а затем от причины к действию. Но как можем мы отличать причину от действия до установления временного порядка? Эддингтон говорит, что мы делаем это с помощью второго закона термодинамики. В отношении сферической радиации мы принимаем, что радиация идет от центра, а не к центру. Ко поскольку я хочу связать физику с опытом, я предпочел бы сказать, что мы устанавливаем временной порядок с помощью памяти и нашего непосредственного опыта временной последовательности. То, что вспоминается, относится, по определению, к прошлому; и в пределах являющегося настоящего есть более раннее и более позднее. Все' сосуществующее с чем-либо вспоминаемым, а не с моим настоящим опытом также относится к прошлому. Отправляясь от этого, мы можем определение временного порядка и различение прошлого и будущего распространять шаг за шагом на все события. Мы можем тогда отличать причину от действия и говорить, что причины всегда бывают по времени раньше, чем действия.
      Согласно вышеприведенной теории, имеются определенные элементы, которые переносятся без изменений из мира чувств в мир физики. Эти элементы следующие: отношение сосуществования, отношение более раннего и более позднего, некоторые элементы структуры и различия в некоторых обстоятельствах, то есть, когда мы испытываем различные ощущения, относящиеся к одному и тому же чувству, мы можем предположить, что их причины различны. Это остаток наивного реализма, который все еще живет в физике. Он продолжает жить прежде всего потому, что не никакого положительного аргумента против него, потому, что связанная с ним физика соответствует известным фактам, и потому, что предрассудок заставляет нас склоняться к наивному реализму всегда, когда его нельзя опровергнуть. Остается исследовать, имеются ли для признания физики какие-либо лучшие основания, кроме вышеприведенных.
      ЧАСТЬ ПЯТАЯ
      Вероятность
      ВВЕДЕНИЕ
      Обычно считается, что выводы науки и обыденного здравого смысла отличаются от выводов дедуктивной логики и математики в весьма важном отношении, а именно в том, что, когда посылки истинны и само рассуждение правильно, заключение только вероятно. Мы имеем основания верить, что Солнце взойдет завтра, и каждый согласится, что в практике мы можем вести себя так, как если бы эти основания подтверждали достоверность. Но когда мы исследуем их, мы находим, что они оставляют место, хотя и незначительное, для сомнения. Это подтверждаемое сомнение имеет три вида. Что касается первых двух, то: во-первых, могут быть относящиеся к делу факты, которых мы не знаем; во-вторых, законы, которые мы должны принять для того, чтобы предсказывать будущее, могут быть неверными. Первое основание для сомнения не имеет большого значения для нашего настоящего рассмотрения, но второе таково, что требует детального исследования. Существует и третий вид сомнения, который возникает тогда, когда мы знаем закон относительно действия того, что что-либо происходит обычно или может быть в подавляющем большинстве случаев, хотя и не всегда; в этом случае мы имеем право ожидать то, что происходит обычно, хотя и не с полной уверенностью. Например, если человек бросает кости, то случаи, когда будут выпадать две шестерки десять раз подряд, очень редки, хотя это и не невозможно; мы поэтому имеем право ожидать, что он не сможет бросать кость так, чтобы две шестерки выпадали десять раз подряд, но наше ожидание должно иметь оттенок сомнения. Все эти виды сомнения включают нечто такое, что может быть названо "вероятностью", но это слово может иметь разные значения, которые для нас важно выяснить.
      Математическая вероятность возникает всегда из комбинации двух высказываний, одно из которых может быть полностью известным, а другое совершенно неизвестно. Если я вытащу из колоды карту, то каков шанс, что это будет туз? Я полностью знаю строение колоды карт и знаю, что одна из каждых тринадцати карт есть туз; но я совершенно не знаю, какую карту я вытащу. Но если я говорю: "Вероятно, Зороастр существовал",- то я высказываю что-то о степени недостоверности или о правдоподобии в добавлении к одному предложению: "Зороастр существовал". Это понятие сильно отличается от понятия математической вероятности, хотя во многих случаях оба эти понятия связывают друг с другом.
      Делом науки является выведение законов из частных фактов. Вывод подобного рода не может быть дедуктивным, кроме того случая, когда в добавление к частным фактам среди наших посылок имеются общие законы; с чисто логической точки зрения это совершенно очевидно. Иногда думают, что, хотя частные факты и не могут сделать закон достоверным, все же они могут сделать его вероятным. Частные факты, конечно, могут быть причиной веры в общее предложение;
      именно тот факт, что в нашем опыте нам приходится встречаться со смертью отдельных людей, послужил причиной нашей веры в то, что все люди смертны. Но если наша вера в смертность всех людей оправдывается, то это как общее правило, происходит потому, что определенные виды частных фактов служат доказательством общих законов. А поскольку дедуктивная логика не знает никакого подобного принципа, постольку всякий принцип, который должен оправдывать вывод от частного к общему, должен быть законом природы, то есть утверждением, что действительная вселенная имеет определенный характер, который она могла бы и не иметь. Я попытаюсь исследовать такой принцип или принципы в шестой части этой книги; в пятой же части я буду только отстаивать ту мысль, что индукция через простое перечисление не является таким принципом, и если не подвергнуть ее жестким ограничениям, то можно доказать, что она незаконна.
      В науке мы выводим не только законы, но также и частные факты. Если мы читаем в газете, что король умер, мы делаем вывод, что он мертв; если оказывается, что мы должны совершить длинное путешествие по железной дороге без возможности поесть в дороге, то мы делаем вывод, что нам придется поголодать. Все такие выводы могут быть оправданы только в том случае, если есть возможность установить законы. Если бы не было общих законов, то знание каждого человека было бы ограничено только его личным опытом. Больше необходимости в том, чтобы законы существовали, чем в том, чтобы их знали. Если за А всегда следует В и если какое-либо животное, увидев А, ожидает В, то об этом животном можно сказать, что оно знает о наступлении B без знания общего закона. Но хотя некоторое знание о еще не воспринятых фактах и может быть получено таким путем, все-таки достигнуть многого без знания общих законов невозможно. Такие законы в общем устанавливают вероятность (в одном смысле) и сами только вероятны (в другом смысле). Например, вероятно (в одном смысле), что если вы больны раком, то вероятно (в другом смысле), что вы умрете. Это положение вещей делает очевидным, что мы не можем достигнуть понимания научного метода без предварительного исследования различных видов вероятности.
      Но хотя такое исследование и необходимо, я все-таки не думаю, что вероятность имеет такое большое значение, какое ей придают некоторые авторы. Значение, которое она имеет, возникает двумя путями. С одной стороны, нам нужны в качестве предпосылок науки не только данные, полученные благодаря восприятию и памяти, но также и определенные принципы синтетического вывода, которые не могут быть установлены дедуктивной логикой или аргументами, полученными из опыта, поскольку они предполагаются во всяком выводе от фактов опыта к другим фактам или законам. Можно допустить, что эти посылки не вполне достоверны, то есть что они не обладают наивысшей "степенью правдоподобия". Одной из задач нашего анализа этой формы вероятности будет показать вопреки противоположному мнению Кейнса, что данные и посылки вывода могут быть недостоверными. Это - один путь, на котором теория вероятности оказывается нужной, но есть также и другой. Случается, что мы часто знаем (в некотором смысле слова "знаем"), что что-то происходит обычно, но, возможно, не всегда, например, что за молнией следует гром. В этом случае мы имеем класс случаев А, большинство из которых, как мы имеем основание думать, принадлежит к классу В. (В нашем примере А суть периоды времени, наступающие сейчас же после молнии, а В периоды времени, когда слышится гром.) В таких условиях, когда дан случай класса А, относительно которого мы не знаем, является ли он случаем класса B, мы имеем право сказать, что он, "вероятно", является членом класса В. Здесь слово "вероятно" имеет не тот смысл, который ему придается, когда мы говорим о степенях правдоподобия, а совсем другой, который оно имеет в математической теории вероятности.
      На основании этих соображений, а также и потому, что логика вероятности гораздо менее полна и гораздо менее бесспорна, чем элементарная логика, необходимо развить теорию вероятности подробнее и исследовать различные спорные вопросы ее интерпретации. Следует помнить, что все обсуждение вопроса о вероятности играет роль предварительного введения к исследованию постулатов научного вывода.
      ГЛАВА 1.
      ВИДЫ ВЕРОЯТНОСТИ.
      Попытки создать логику вероятности были многочисленны, но против большинства из них выдвигались роковые для них возражения. Одной из причин ошибочности этих теорий было то, что они не различали - или, скорее, намеренно смешивали - в корне различные понятия, которые в обычном словоупотреблении имеют одинаковое право называться словом "вероятность". В этой главе я намереваюсь провести предварительное и дискурсивное исследование этих разных понятий, откладывая до следующих глав попытку достичь строгих определений.
      Первым весьма значительным фактом, который мы должны взять в расчет, является существование математической теории вероятности. Среди математиков, занимающихся этой теорией, существует весьма полное согласие в отношении всего того, что может быть выражено в математических символах, но вместе с тем полностью отсутствует согласие в отношении интерпретации математических формул. При таких обстоятельствах самым простым путем является перечисление аксиом, из которых эта теория может быть выведена, и принятие решения, что любое понятие, которое удовлетворяет требованиям этих аксиом, имеет с математической точки зрения одинаковое право называться словом "вероятность". Если имеется много таких понятий и если мы решаем сделать выбор среди них, то мотивы нашего выбора должны лежать вне математики.
      Есть одно очень простое понятие, которое удовлетворяет требованиям аксиом теории вероятности и которое по другим основаниям имеет преимущество перед другими. Если дан конечный класс В, имеющий n членов, и если известно, что количество m из них принадлежит к какому-то другому классу A, то мы говорим, что если выбрать наудачу какой-либо член класса В, то шанс, что он будет принадлежать к классу А, будет равен числу m /n. Вопрос о том, соответствует ли это определение тому употреблению, которое мы хотим сделать из математической теории вероятности, мы будем рассматривать позже; если оно не соответствует, мы должны будем поискать какую-либо другую интерпретацию математической вероятности.
      Следует иметь в виду, что здесь не встает вопрос об истинности или ложности. Любое понятие, которое удовлетворяет требованиям аксиом, может рассматриваться как понятие, которое само есть математическая вероятность. Действительно, возможно, что в одном контексте может быть удобным принять одну интерпретацию, а в другом - другую, так как удобство является единственным руководящим мотивом. Такова обычная ситуация при интерпретации математической теории. Например, как мы видели, вся арифметика может быть выведена из пяти аксиом, перечисленных Пеано, и, следовательно, если все, чего мы хотим от чисел, есть только то, что они должны повиноваться правилам арифметики, то мы можем определить, как ряд натуральных чисел, любой ряд, удовлетворяющий пяти аксиомам Пеано. Однако эти аксиомы удовлетворяются любой прогрессией, и, в частности, рядом натуральных чисел, начинающимся не с 0, а со 100, 1000 или с любого другого конечного целого числа. Только в том случае, если мы хотим, чтобы наши числа служили для перечисления, а не только для арифметики, мы получаем основание для выбора ряда, начинающегося с 0. Точно так же обстоит дело и в математической теории вероятности, где избираемая интерпретация может зависеть от той цели, которую мы имеем в виду.
      Слово "вероятность" часто употребляется так, что не допускает или по крайней мере не допускает явно своей интерпретации как отношения чисел двух ограниченных классов. Мы можем сказать: "Вероятно, Зороастр существовал", "Вероятно, теория тяготения Эйнштейна лучше, чем теория Ньютона", "Вероятно, все люди смертны". Это не следует смешивать с предложением: "Все люди, вероятно, смертям". Но мы могли бы утверждать, что в этих случаях имеются определенные показания, о которых известно, что они в громадном большинстве случаев сочетаются с определенного рода выводами; таким путем теоретически и здесь можно было бы применить определение вероятности как отношения чисел двух классов. Следовательно, возможно, что примеры вроде вышеприведенных не предполагают нового значения "вероятности".
      Есть, однако, два афоризма, которые все мы склонны принимать без особой проверки, но которые, если их принять, предполагают такую интерпретацию "вероятности", которую, по-видимому, нельзя примирить с вышеприведенными определениями. Первым из этих афоризмов является изречение епископа Батлера, что "вероятность есть руководитель жизни". Вторым является положение, что все наше знание только вероятно, на чем особенно настаивал Рейхенбах.
      Изречение епископа Батлера, очевидно, имеет силу в соответствии с одной очень распространенной интерпретацией "вероятности". Когда, как это обычно бывает, я не уверен в том, что должно произойти, но должен действовать в соответствии с той или иной гипотезой, мне обычно и вполне правильно советуют выбирать наиболее вероятную гипотезу и всегда правильно советуют учитывать степень вероятности при принятии решения. Но существует очень важное логическое различие между вероятностью этого рода и математической вероятностью, а именно то различие, что последняя касается пропозициональных функций, а первая - высказываний. Когда я говорю, что шанс, что монета выпадет лицевой стороной, равен половине, то это отношение между двумя пропозициональными функциями "х есть бросание монеты" и "х есть бросание монеты, которая выпадает лицевой стороной". То есть высказываний, содержащих неопределенные переменные, например "А есть человек", которые становятся высказываниями, когда мы приписываем переменной (в приведенном примере переменной А) какое-либо
      значение. Если мне приходится делать вывод, что в каком-либо отдельном случае шанс выпадения лицевой стороной равен 1/2, то я должен сказать, что рассматриваю этот частный случай только как отдельный пример. Если бы я мог вникнуть во все его частности, я мог бы теоретически решить, упадет ли монета лицевой или оборотной стороной, и тогда я больше уже не был бы в сфере вероятности. Когда мы применяем вероятность в качестве руководителя наших действий, то это происходит потому, что наше знание недостаточно; мы знаем, что рассматриваемое событие является членом класса событий В, и мы можем знать, какая часть членов этого класса принадлежит к некоему классу А, которым мы интересуемся. Но эта часть будет изменяться в соответствии с нашим выбором класса В; мы, таким образом, получим различные вероятности, одинаково ценные с математической точки зрения. Для того чтобы вероятность могла стать руководителем практики, мы должны иметь какой-то способ выбора одной вероятности как действительной вероятности. Если мы не можем этого сделать, то все различные вероятности остаются одинаково ценными, и мы останемся без руководства.
      Возьмем пример, когда каждый здравомыслящий человек руководствуется вероятностью. Я имею в виду страхование жизни. Я выясняю условия, на которых некая страховая компания согласна застраховать мою жизнь, и должен решить, будет ли страхование на этих условиях выгодной сделкой именно для меня, а не для страхования вообще.
      Моя задача отличается от задачи страховой компании и является гораздо более трудной. Страховая компания не интересуется моим индивидуальным случаем: она предлагает страхование всем членам определенного класса и нуждается только в учете статистических средних чисел. Но я могу верить, что у меня есть особые основания думать, что я проживу долго или что я похож на того шотландца, который умер на другой день после уплаты последнего страхового взноса, успев сказать с последним вздохом: "Я всегда был счастливым парнем". Тут имеет значение каждое обстоятельство в моем здоровье и в моем образе жизни, но некоторые из этих обстоятельств могут быть настолько необычными, что я не смогу получить сколько-нибудь надежной помощи от статистики. Наконец, я решаю проконсультироваться с врачом, который, задав мне несколько вопросов, благожелательно говорит: "О, я думаю, что вы проживете до 90 лет". Я с сожалением сознаю не только то, что его суждение поспешно и не научно, но также и то, что он хочет сказать мне что-то приятное. Вероятность, к которой я в конце концов прихожу, является, таким образом, чем-то в высшей степени неопределенным и совершенно не поддающимся числовому измерению; но именно на основании этой неопределенной вероятности я, как последователь епископа Батлера, и должен действовать.
      Вероятность, являющаяся руководителем жизни, не относится к математическому виду вероятности не только потому, что она относится не к произвольным данным, а ко всем данным, которые с самого начала имеют отношение к вопросу, но также и потому, что она должна учитывать нечто целиком лежащее вне сферы математической вероятности, что можно назвать "внутренне присущей сомнительностью". Именно это и имеется в виду, когда говорят, что все наше познание только вероятно. Возьмем, например, воспоминание о далеком прошлом, которое стало настолько забытым, что мы не можем больше относиться к нему с доверием, звезду, настолько тусклую, что мы не уверены в том, действительно ли мы ее видим, или шум, настолько слабый, что мы думаем, что он нам только кажется. Это крайние случаи, но в меньшей степени такого рода сомнительность очень обычна. Если мы утверждаем, как это делает Рейхенбах, что все наше знание сомнительно, то мы не можем определить эту сомнительность математическим путем, ибо при составлении статистики уже предполагается, что мы знаем, что А есть или не есть В, что этот застрахованный человек умер или что он жив. Статистика строится на структуре предположенной достоверности прошедших случаев, и всеобщая сомнительность не может быть только статистической.
      Я думаю поэтому, что все, во что мы склонны верить, имеет какую-то "степень сомнительности" или, наоборот, какую-то "степень правдоподобия". Иногда это бывает связано с математической вероятностью, а иногда нет; это более широкое и более неопределенное понятие. Но оно, однако, не является чисто субъективным. Есть родственное субъективное понятие, а именно степень убежденности, которую человек чувствует по отношению ко всякой своей вере; но "правдоподобие", как я его понимаю, есть объективное понятие в том смысле, что оно есть степень доверия, которое оказывает разумный человек. Когда я подытоживаю свои расчеты, то в первый раз я оказываю получающемуся результату только некоторое доверие, значительно большее я оказываю, если я получаю тот же результат во второй раз, и приобретаю почти полное убеждение, если я получаю его в третий раз. Этот рост убежденности идет вместе с накоплением подтверждений и является поэтому разумным. В любом предложении, в пользу которого имеется показание, хотя бы и недостаточное, есть соответствующая "степень правдоподобия", что есть то же самое, что и степень доверия, оказываемая разумным человеком. (Это последнее соображение может рассматриваться, возможно, как определение слова "разумный".) Большое значение придается вероятности в практике благодаря ее связи с правдоподобием, но если мы вообразим, что эта связь теснее, чем она на самом деле, то мы внесем путаницу в теорию вероятности.
      Связь между правдоподобием и субъективным убеждением есть связь, которая может быть изучена эмпирически; у нас поэтому нет необходимости иметь какие-либо взгляды по этому вопросу до эмпирического свидетельства. Фокусник, например, может создать обстоятельства способом, известным ему самому, но рассчитанным на то, чтобы обмануть публику;
      он может, таким образом, приобрести данные в отношении того, как создавать неверные убеждения, что, вероятно, полезно в деле рекламы и пропаганды. Мы не можем так легко изучить отношение правдоподобия к истине, потому что мы обычно принимаем высокую степень правдоподобия за достаточное свидетельство истины, а если мы этого не делаем, мы оказываемся больше не в состоянии открывать какие бы то ни было истины. Но мы можем обнаружить, образуют ли предложения, имеющие высокую степень правдоподобия, взаимно согласованную последовательность, так как такая последовательность содержит предложения (высказывания) логики.
      В результате вышеприведенного предварительного обсуждения я думаю, что каждое из обоих различных понятий имеет на основе обычного употребления равное право называться "вероятностью". Первое из них является математической вероятностью, которая поддается числовому измерению и удовлетворяет требованиям аксиом исчисления вероятности;
      это - тот вид вероятности, который предполагается при использовании статистики, будь то в физике, в биологии или в общественных науках, и также тот ее вид, который, как мы думаем, предполагается в индукции. Этот вид вероятности всегда имеет дело с классами, а не с отдельными случаями, за исключение того обстоятельства, когда они могут рассматриваться только как примеры.
      Но существует и другой вид, который я называю "степенью правдоподобия". Этот вид применим к отдельным предложениям и всегда связан с учетом всех относящихся к делу свидетельств. Он применим даже в некоторых таких случаях, в которых нет никакого известного свидетельства. Высшая степень правдоподобия, которой только мы можем достигнуть, применима к большинству суждений восприятия; различные степени применимы к суждениям памяти в соответствии с их живостью и свежестью. В некоторых случаях степень правдоподобия может быть выведена из математической вероятности, в других же случаях это не может быть сделано; но даже в тех случаях, когда она может быть выведена, важно помнить, что это другое понятие. Именно этот вид, а не математическая вероятность подразумевается, когда говорят, что все наше познание только вероятно и что вероятность есть руководитель жизни.
      Оба вида вероятности требуют обсуждения. Я начну с математической вероятности.
      ГЛАВА 2.
      ИСЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.
      В этой главе я собираюсь трактовать теорию вероятности как ветвь чистой математики, в которой мы выводим следствия определенных аксиом, не стараясь приписать им ту или иную интерпретацию. Относительно "интерпретации" смотри главу 1 четвертой части этой книги. Следует заметить, что, в то время как интерпретация в этой области является спорной, само математическое исчисление диктует здесь ту же меру согласия, как и во всякой другой области математики. Это положение вещей никоим образом не является чем-то особенным. Интерпретация исчисления бесконечно малых почти в течение двух столетий была предметом, по поводу которого спорили математики и философы; Лейбниц считал, что она предполагает актуально бесконечно малые, и только Вейерштрасс окончательно опроверг этот взгляд. Возьмем еще более существенный пример:
      никогда не было никаких споров по поводу элементарной арифметики, и все-таки определение натуральных чисел все еще остается предметом спора. Мы не должны поэтому удивляться, что существует сомнение в отношении определения "вероятности", в то время как его нет (или очень мало) в отношении исчисления вероятности.
      Следуя Джонсону и Кейнсу, мы будем обозначать выражением p/h неопределенное понятие "вероятность p при данном h". Когда я говорю, что это понятие является неопределенным, я имею в виду, что оно определяется только с помощью аксиом или постулатов, которые должны быть перечислены.