— Машины-переводчики, машины-шахматисты, думающие машины, машины-творцы — всё это миф!
       — ?!!
       — Давным-давно пора прекратить болтовню о необыкновенных способностях машин! Это плод досужей фантазии популяризаторов.
       — Но как можно отрицать успехи кибернетики! Это верх несправедливости. Они поистине грандиозны. То ли ещё ждёт нас впереди!
       — Заблуждение! Вот говорят: в каждом знании ровно столько науки, сколько в нём математики. Математика пронизывает всю кибернетику. И не только её. Математизация знаний стала поветрием, модой. Между тем современная математика, эта царица наук, переживает самый настоящий кризис. Её логические устои шатки, её аппарат несовершенен, она полна неразрешимых противоречий, из которых не может выпутаться вот уже третье тысячелетие. Да и возможности человеческого разума ограничены…
       — Человеческого разума?! Ну, это уж слишком! Так могут рассуждать либо невежды, либо сумасшедшие!..
       Где кончается здравый скептицизм и начинается голый нигилизм? Где вера во всесилие человеческого разума переходит в излишнюю самоуверенность, игнорирующую трудности?
 
      Читатель, должно быть, помнит курьёзный эпизод из романа Сервантеса «Дон-Кихот». Не успел Санчо Панса освоиться со своим губернаторским положением, как ему учинили хитроумное испытание.
      Некое поместье делится на две половины многоводною рекою. Через реку переброшен мост, а поблизости зловеще возвышается виселица. Закон гласит: «Всяк проходящий по мосту через сию реку долженствует объявить под присягою, куда и зачем он идёт; кто скажет правду, тех пропускать беспрепятственно, а кто солжёт, тех без всякого снисхождения казнить через повешение».
      И надо же было так случиться, что однажды некий человек, приведённый к присяге, заявил: он-де клянётся, что пришёл сюда, дабы его… вздёрнули на эту вот самую виселицу и ни за чем другим. Стоило видеть недоумение судей! В самом деле, если позволить чудаку-незнакомцу следовать дальше, то это будет означать, что он нарушил присягу и согласно закону подлежит казни. С другой стороны, как его повесить? Ведь он клялся, будто только затем и пришёл, чтобы его повесили, — стало быть, присяга его не ложна, и на основании этого же самого закона надлежит пропустить его неприкосновенным.
      Бедняга Санчо не мог похвастать мудростью библейского царя Соломона. Однако он безропотно взялся за нелёгкое дело и ничтоже сумняшеся рассудил так: «Ту половину человека, которая сказала правду, пусть пропустят, а ту, что соврала, пусть повесят». «Но, сеньор губернатор, — возразил ошеломлённый оппонент, — если разрезать человека на части, то он непременно умрёт, и тогда ни та, ни другая статья закона не будет исполнена. Между тем закон требует, чтобы его соблюли во всей полноте!» Сеньор губернатор, окончательно поставленный в тупик, по доброте душевной, посоветовал просто-напросто отпустить странного просителя на все четыре стороны.
      Итак, закон был нарушен. Но что мог поделать добрый простак Санчо, который не умел даже расписаться под своим решением? Ну, а мы, читатели Сервантеса, находясь во всеоружии логики и математики, можем ли мы спустя 400 лет справиться с подобными головоломками?
      Чтобы разобраться в этом вопросе, нам придётся заглянуть в удивительный мир парадоксов, побывать по ту сторону здравого смысла.
      Парадоксы известны с незапамятных времён.
      Знаменитому критскому философу Эпимениду, жившему в VI веке до нашей эры, приписывается довольно нелестный отзыв о своих соотечественниках: «Все критяне — лжецы». Только вот беда: сам Эпименид тоже критянин! Получается, что если Эпименид говорит правду, то он лжец, значит, он возводит напраслину на своих земляков и на себя самого, то есть говорит неправду. Как же всё-таки: ложно или истинно высказывание, порочащее обитателей острова — колыбели человеческой культуры?
      Парадокс Эпименида, известный иначе как «парадокс лжеца», встречается ещё и в менее афористической, зато более сильной форме: «я лгу», или «высказывание, которое я сейчас произношу, ложно». Стоящее в кавычках выражение, очевидно, не может быть без противоречия ни истинным, ни ложным. Этот вариант парадокса принадлежит Эвбулиду (IV век до н. э.).
      В 1913 году английский математик Джордан добавил в копилку парадоксов такой. На одной стороне карточки начертано: Утверждение на обороте этой карточки истинно.
      Что же это за утверждение? Перевернув карточку, вы читаете: Утверждение на обороте этой карточки ложно.
      Вот и поди разберись, что к чему. Если верить первому сообщению, то второе правильно. Но ежели правильно второе, то неверно первое! И наоборот.
      В античной «дилемме крокодила» ситуация столь же трагикомична и нелепа, что и у Сервантеса. Крокодил похищает ребёнка. Чудовище обещает родителям вернуть дитя, если отец угадает, отдаст ему крокодил ребёнка или нет. Что делать бедному чудовищу, если отец вдруг скажет, что крокодил не возвратит ему ребёнка?
      Мы часто прибегаем в спорах к услугам аргумента «нет правил без исключений», забывая, что это выражение само есть правило и, выходит, тоже должно иметь исключения. Парадокс? Несомненно. И он возник потому, что санкции, декларируемые законом, мы применили к самому закону. Так что будьте осторожны с подобными аргументами: они чреваты логическими подвохами!
      Любопытен изящный логический парадокс, сформулированный в 1908 году немецким математиком Куртом Греллингом. Чтобы войти в курс дела, разберём определение автологичного (самоприменимого) имени прилагательного. Большинство прилагательных не обладает качеством, которое оно обозначает. Скажем, слово «красный» само по себе не имеет красного цвета, слово «ароматный» не пахнет. Зато прилагательное «русский» — действительно русское, «трёхсложный» — трехсложно, «абстрактный» — абстрактно и т. д. Каждое из этих прилагательных, по терминологии Греллинга, автологично, то есть имеет силу применительно к самому себе, обладая тем же качеством, которым оно наделяет другие понятия. Иное дело — гетерологичные, то есть несамоприменимые прилагательные. Скажем, слово «трёхсложная» — само по себе вовсе не трехсложно, «бесконечный» имеет конечные размеры, «конкретный» — по смыслу абстрактно.
      Парадокс Греллинга возникает из вопроса: к какому классу отнести прилагательное «несамоприменимый»? Самоприменимо оно или же нет? Допустим, что прилагательное «несамоприменимый» несамоприменимо. Тогда оно (согласно приведённому определению Греллиига) самоприменимо! А раз оно самоприменимо, то на каком же основании оно названо нами несамоприменимым?!
      Вот ещё один логический сюрприз. Рассмотрим выражение: «Наименьшее натуральное число, которое нельзя определить посредством меньше чем тридцати шести слогов». Между тем только что написанное предложение при помощи тридцати пяти слогов (посчитайте и убедитесь сами!) определяет не что иное, как число, которое, по определению, нельзя определить меньше чем набором из тридцати шести слогов!
      Подобными несуразицами изобилует история логики. Читатель может испробовать свои силы, пытаясь выбраться из перечисленных смысловых лабиринтов. (С тех пор как возникла эта проблема, не было найдено ни одного решения, с которым бы безоговорочно согласились учёные.)
      Впрочем, правильно ли сказано: «смысловых лабиринтов»?
      У каждого лабиринта, каким бы запутанным он ни был, есть выход. И если посетители знаменитого Критского лабиринта чересчур долго блуждали по хитросплетениям его ходов, неизменно попадая в лапы Минотавра, то виноваты в этом были они сами. Отмечай люди простейшими приёмами путь, то, даже не обладая развитой способностью ориентироваться, они получили бы не менее надёжное средство спасения, чем пресловутая нить Ариадны. Иными словами, в подобных случаях нас подводит лишь пренебрежение законами логики и геометрии. Другое дело парадоксы. Их формулировки настолько просты, настолько прозрачны, что и блуждать-то, собственно, негде: нет лабиринта как такового! Но сколь бы изощрённы ни были наши познания в области логики и математики, никакой, даже самый отточенный, меч разума не в силах разрубить этот логический гордиев узел.
      И ещё одно уточнение. Под парадоксом обычно понимают нечто противоречащее нашей интуиции, нашему повседневному опыту, нашим непосредственным ощущениям. Парадоксальным в этом смысле казалось откровение астрономов-гелиоцентристов: не Солнце вращается вокруг Земли, а Земля вокруг Солнца. Но как бы ни бунтовала наша интуиция, логика научного мышления неумолимо подводит нас к такому заключению. Между тем существуют парадоксы иного рода. Используя тот же логический аппарат, те же приёмы рассуждения — а ведь они шлифовались тысячелетиями и на них основаны все наши знания! — мы неизбежно приходим к неразрешимому противоречию. Значит, речь идёт о несовершенстве, об изъянах, глубоко коренящихся в самой логической системе нашего мышления.
      Правда, у читателя может возникнуть вопрос: кому нужна вся эта казуистика? Да и нужна ли она вообще?
      Приведённые смысловые нелепости не просто забавные трюки логики. Не раз парадоксы были связаны с перестройкой основ мышления.
      Особенно поучительна эпопея знаменитых апорий (парадоксов) Зенона, которые двадцать пять, столетий назад оказались самой настоящей сенсацией. Впрочем, не просто сенсацией, которая ненадолго травмирует психику обывателя, а потом бесследно улетучивается из головы. Они оказали заметное влияние на прогресс математики. И до сих пор не сходят со страниц серьёзнейших математических, логических, философских работ, где учёные ломают копья и головы: преодолены или нет трудности, порождённые этими ужасными апориями?
      …Кто из читавших гомеровскую «Илиаду» не помнит сцену погони грозного Ахилла за «шлемоблещущим», но порядком струхнувшим Гектором?
      Сильный бежал впереди, но преследовал много сильнейший.„
      Правда, гонка вокруг Трои всё-таки закончилась поражением Гектора. Но не в беге! В смертельной схватке. А перед поединком Ахиллу пришлось остановиться, так и не догнав врага. Что ж, супостат был ловок и быстроног. А если бы он был неуклюж и тихоходен?.
      Да, грациозен и быстроног могучий Ахилл, сын Пелея, герой Троянской войны, воспетый Гомером. И как неуклюжа, как тихоходна черепаха, повсюду слывущая эталоном медлительности и нерасторопности! Ей ли тягаться в скорости с легендарным бегуном? А вот античный мудрец Зенон считал, что Ахиллу ни за что не догнать черепаху. Убеждение философа основывалось на том, что когда преследующий достигнет места, где находился преследуемый в момент старта, догоняемый бегун продвинется, хотя и немного, дальше. Значит, на новом небольшом участочке пути Ахиллу снова придётся догонять черепаху. Но пока преследователь добежит до этого второго пункта, беглянка снова переместится вперёд. И так далее до бесконечности. Если же это будет длиться без конца и края, то как Ахиллу удастся обогнать черепаху?
      С другой стороны, из собственного повседневного опыта каждый школьник знает, что он, отнюдь не будучи Ахиллом, способен запросто обогнать не только черепаху, но, чего доброго, и самого учителя — стоит только прозвучать звонку, возвещающему конец урока.
      А нет ли «ахиллесовой пяты» у самих рассуждений Зенона?
      В классическом курсе логики, написанном Минто, прославленный бегун легко опережает свою недостойную соперницу, хотя даёт ей фору не только в расстоянии — 100 саженей (здесь употреблены старинные русские, а не древнегреческие меры длины, однако это не имеет значения), но и в скорости: он двигается не в полную силу — всего в десять раз резвее черепахи. То есть, по существу, шагает себе не торопясь, уверенный в победе. Правда, добравшись до места, откуда тронулась в путь-дорогу нерасторопная ставленница Зенона, Пелеев сын увидит, что та успела переползти ещё на 10 саженей вперёд. Пока Ахилл преодолеет эти 10 саженей, черепаха уйдёт ещё на сажень. Что ж, быстроногому ничего не стоит покрыть какую-то там сажень. А неуклюжая тем временем переместится — пусть на одну десятую сажени, но всё-таки вперёд, прочь от преследователя! С каждым шагом расстояние сокращается. Таких шагов будет, очевидно, бесчисленное множество. Не беда: современная математика научилась суммировать бесконечные последовательности. И Минто строит бесконечный ряд:
      100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +…
      Перед нами убывающая геометрическая прогрессия. Её сумму запросто подсчитает любой теперешний школьник, если, конечно, он уже прошёл алгебру по учебнику, кажется, для восьмого класса; эта сумма равна 111 1/ 9. Проделав, нехитрый подсчёт, Минто заключает: «Софист хочет доказать, что Ахилл никогда не догонит черепаху, а на самом деле доказывает лишь то, что Ахилл перегоняет её между 111-й и 112-й саженями на их пути».
      Вроде бы правильно. Вроде бы логично. Увы, торжествующий опровергатель не ответил посрамлённому софисту, ибо вопрос ставился иначе: не когда, а как возможна подобная встреча…
      Пусть читатель сам рассудит античного мудреца и его оппонента.
      Чтобы получить в ответе 111 1/ 9сажени, вовсе не обязательно прибегать к суммированию бесконечного ряда. Можно решить задачу обычным алгебраическим путём, приняв за неизвестное путь, который проползёт до момента «рандеву» пресмыкающаяся красавица, кокетливо убегающая от своего самоуверенного преследователя.
      Уж коли у нас объявилось неизвестное, быть ему иксом — х. Тогда путь, промаршированный Ахиллом, окажется больше дистанции, разделявшей бегунов во время старта, на отрезок, покрытый черепахой до встречи с Ахиллом: 100 + х Теперь вникните: время движения от старта до встречи у обоих бегунов одно и то же. А скорость у Ахилла в десять раз выше. Значит, путь, проделанный Ахиллом, будет тоже в десять раз больше, чем черепаший (х). Составляем уравнение: (100 + х): х = 10. Подсчитайте: х = 11 1/ 9. Столько саженей проползла черепаха. А Ахилл? 100+ х = 111 1/ 9.
      Трудно поверить, чтобы Зенон не сумел найти искомый отрезок пути подобными элементарными средствами. Ещё труднее представить, что Зенон никогда никого не перегонял или не видел, как это делают другие. Нет, не зря античный мыслитель формулирует задачу так, что в ней появляется понятие о бесконечном ряде! Его не мучает сомнение: может ли тело проделать путь, составленный из кусочков? Мыслитель смущён другим: как возможен последовательный синтез бесчисленного множества отрезков, если он будет длиться вечно, так и не достигнув предела?
      Не достигнув? А точка, отстоящая от старта на 111 1/ 9сажени, — не есть ли это тот самый предел? Есть. Тот самый! Но разве вопрос сводился к тому, каков он? Нет! К тому, как переменная (в данном случае сумма ряда) достигает своего предела. И достигает ли вообще?
      Мы назвали сумму переменной величиной. Так оно и есть. Вспомните ряд, составленный Минто: 100+10+1+0,1+0,01 + + 0,00,1. Покуда он содержит шесть членов. Их сумма равна 111,111. Это число меньше, чем 111 1/ 9. Правда, чуть-чуть, но всё-таки меньше! Разница станет ещё меньше, если мы присовокупим к последовательности ещё один член, седьмой: 100 + 10 + 1 + 0,01 + 0,01 + 0,001 + 0,0001. Сумма изменилась, теперь она равна 111,1111. Семь членов — семь знаков в числе — единичек, заметили? Если членов будет восемь, сумма опять удлинится на единичку: 111,11111. И так далее. Но возьмёте ли вы сто, тысячу, миллиард миллиардов членов, всё равно ваше число с колоссальным по длине хвостом из единиц будет меньше 111 1/ 9. Сумма изменяется, растёт, но не достигает предела. И всё-таки мы умеем подсчитать предел, к которому она стремится.
      Делается это так. Берётся формула для суммы конечного (подчёркиваем: не бесконечного!) количества членов. Она легко выводится — загляните в школьный учебник алгебры. Давайте подставим в неё характеристики нашей геометрической прогрессии. Первый член у нас 100. А знаменатель прогрессии — одна десятая (0,1) — ведь у нас каждый следующий член меньше предыдущего в десять раз. Предположим, мы хотим подсчитать сумму для 777 членов. Получим:
      100/(1–0,1) [1 — (0.1) 777+1].
      Нетрудно видеть, что число перед квадратными скобками равно 111 1/ 9. А содержимое квадратных скобок? Чуть меньше единицы. И оно будет тем ближе к единице, чем больше показатель степени у дроби 0,1, заключённой в круглые скобки. Но приглядитесь к показателю степени — это же число членов ряда плюс единичка!
      А теперь начинается самое интересное. Мы переходим от конечного числа членов к бесконечному. Показатель степени при (0,1) неограниченно возрастает. Что же происходит с самой степенью — с одной десятой, умноженной на себя столь многократно, что и вообразить невозможно? Она становится бесконечно малой величиной, стремящейся к нулю. А раз так, то, как написано в вашем учебнике, мы вправе её попросту отбросить, приравняв к нулю. В квадратных скобках остаётся единица. Стало быть, искомый предел равен 111 1/ 9.
      Но послушаем, что говорит по этому поводу математика (устами академика А. А. Маркова): «Важно заметить, что к совокупности значений бесконечно малой мы не причисляем её предела 0». А французский математик Мансион выражается ещё недвусмысленней: «Пределом переменной мы называем постоянную величину, к которой переменная неопределённо приближается, никогда её не достигая». Но то же самое говорил и Зенон, облекая разве что абстрактные математические символы в яркие образы, навеянные прекрасными античными мифами! Как бы далеко мы ни шли в последовательной интеграции укорачивающихся «движеньиц» Ахилла, мы никогда не получим целиком его пути до встречи с черепахой! Как сказано у Гомера («Илиада» в переводе Гнедича):
 
Сей убежать, а другой уловить
напрягается тщетно,
Так и герои, ни сей не догонит, ни
тот не уходит…
 
      Подмеченные Зеноном трудности в строгом истолковании понятий «предел» и «непрерывность» можно проиллюстрировать и на более простом примере.
      Представьте: у вас в комнате по полу ползёт черепаха. И вдруг — стоп! — животное упёрлось носом в стенку. Путь черепахи — переменная величина, растущая до какого-то предела. Предел — стена. Вернее, точка, ограничивающая траекторию черепахи. Но эта точка не принадлежит к бесконечному множеству точек траектории! Мало того: у черепашьего пути вообще невозможно определить последнюю точку — ту, где обретается черепаший нос в момент удара, ту, что предшествует предельной — точке стены. Здесь мы ненароком коснулись другой апории Зенона. Если первая в истории математики фигурирует под названием «Ахилл», то второй присвоено имя «Дихотомия». Это древнегреческое слово переводится так: «бесконечное деление пополам».
      Прежде чем завершить весь путь, черепаха должна пройти его половину, говорил Зенон. Но прежде чем она достигнет середины пути, ей предстоит добраться до метки, рассекающей надвое эту половину. Однако прежде чем оставить за собой четверть пути, нужно пройти его «осьмушку»… Уф! Так можно продолжать до бесконечности. Короче, Зенон делал вывод: движение никогда не начнётся!
      Геометрически парадокс можно истолковать так. Мы берём отрезок и делим его напополам. Левую половину опять рассекаем надвое. Левую четвертушку — тоже надвое. Затем левую осьмушку, шестнадцатую долю, одну тридцать вторую и так далее — без конца. Не напоминает ли это погоню Ахилла за черепахой или путешествие черепахи по комнатному тупику? Только сейчас роль стены выполняет черепаший нос. Его кончик — точка покоя. А где начинается первая по счёту точка движения? Ведь мы не в силах найти точку, непосредственно следующую за границей отрезка, — точно так же, как и могли определить точку, непосредственно предшествовавшую предельной в примере с черепахой, натолкнувшейся на препятствие!
      Ошибка Зенона, по словам профессора С. А. Богомолова, заключается в том, что из невозможности вообразить начало движения древний философ заключил о невозможности самого движения и достоверного знания о нём. Она вполне объясняется уровнем математических знаний его эпохи и не уменьшает его заслуг. В «Дихотомии» Зенон указал на трудности постигнуть понятия «континуум» (непрерывная последовательность всех точек линии) и «движение». Но математики давно уже привыкли к тому, что рассудок справляется с вопросами, перед которыми бессильна интуиция. И тем не менее мы должны всё-таки признать, что в «Дихотомии» есть некоторый неразрешимый остаток. Речь идёт о бесконечном ряде, не имеющем начала. Это всё та же диалектика бесконечности, которая обретает особую остроту применительно к последовательности моментов времени.
      Следующий наш перевал — «Стрела», третья апория. Третья по счёту, но не по важности. Нас ждёт парадокс, который слывёт, по выражению профессора А. А. Богомолова, «апофеозом зеноновской диалектики».
 
Движенья нет, сказал мудрец брадатый…
 
      Это Пушкин цитирует Зенона. И продолжает:
 
…Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
 
 
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей!
 
      Пушкина цитирует писатель Даниил Данин в своей книге «Неизбежность странного мира». И продолжает: «Зенон вопрошал:
      — Вот летит стрела, в каждый момент её можно где-то застигнуть, там она в это мгновенье покоится, откуда же берётся движение? Значит, движение — череда состояний покоя? Не абсурд ли это?
      Рассуждение было безупречно. Но и доказательство Диогена, который начал ходить, тоже было неопровержимо. Мог ли отыскаться выход из этого очевидного противоречия — движение слагается из моментов покоя? Выход должен был отыскаться и отыскался.
      Для этого математика и механика должны были научиться оперировать с бесконечно малыми величинами. Они должны были научиться рассматривать состояние покоя как нулевой предел исчезающе малого перемещения. Это делает дифференциальное исчисление. И должны были научиться складывать такие нули, не удивляясь, что бесконечное прибавление бесконечно малых движеньиц может дать вполне реальный конечный отрезок пути. Это делает исчисление интегральное. В рассуждении Зенона была заметная логическая погрешность. Он разлагал перемещение стрелы на бесконечное множество состояний покоя, а складывал их по арифметической логике конечных сумм: если взять столько-то нулей, всё равно получится нуль. И потому сказал: «Движения нет». А всё дело в том, что как ни велико арифметическое «сколько-то», оно ещё не бесконечность. Диоген только молча и мог опровергнуть Зенона — словами у него ничего бы не вышло, потому что не было тогда нужных для этого слов».
      Что ж, это, пожалуй, верно, что у Диогена не нашлось бы нужных слов, дабы возразить — правда, не самому Зенону, а одному из его последователей (Зенон умер за сто с лишним лет до появления Диогена на свет). Ну, а сегодня? Что это за магические слова, каковыми-де можно парировать выпады Зенона? Очевидно, дифференциальное и интегральное исчисления, не так ли? Что ж, давайте попробуем урезонить античного смутьяна самыми, могущественными аргументами математического анализа.
 
Лук звенит, стрела трепещет,
И, клубясь, издох Пифон…
И твой лик победой блещет,
Бельведерский Аполлон!
 
      Сценка убийства, нарисованная Пушкиным, графически изображается баллистической кривой, а в идеале (если не учитывать сопротивления воздуха) — параболой, по которой перемещается стрела от тетивы до мишени. Координаты такие: высота подъёма (вертикальная ось) и время полёта (ось горизонтальная). Сейчас мы займёмся дифференцированием.
      Как подсчитать скорость? Ясное дело как: списал километраж со спидометра и поделил на время, за которое машина проделала путь. Верно. Только так мы найдём среднюю скорость. А она наверняка менялась! Сперва автомобиль стоял — скорость была равна нулю. Потом тронулся — скорость стала нарастать, превысила дозволенный рубеж; тут раздался свисток милиционера, пришлось дать тормоз — скорость резко пошла на убыль, пока машина снова не стала как вкопанная. Если же посчитать среднюю скорость, то выяснится, что вас и штрафовать-то не за что! Однако постового не проведёшь. Он, может, и не знает дифференциального исчисления, но уж в нарушениях кое-что смыслит. Как же всё-таки нам определить точное значение скорости в любой момент времени?
      Давайте вернёмся к стреле: её скорость описывается более простым математическим выражением. Только тут всё наоборот: в момент старта с тетивы скорость стрелы (речь идёт о скорости её подъёма) максимальна. В наивысшей точке трассы она равна нулю. В момент убийства Пифона снова достигает наибольшего значения. В любой момент она иная, чем раньше. Тем не менее мы можем уловить закономерность, с какой она изменяется от точки к точке.
      Представьте, что полёт стрелы, пущенной лучезарным богом в отвратительное чудище, отснят на киноплёнку. И мы остановили демонстрацию фильма где-то посредине, выхватив любой кадр. К этому моменту стрела (лучше говорить об одной из её точек, скажем, центре тяжести) поднялась на определённую высоту. Включим лентопротяжный механизм снова, но ровно настолько, чтобы перед нашими глазами застыл следующий кадр. Центр тяжести, продлив свою трассу на крохотный кусочек, окажется в новой точке, где высота подъёма увеличилась. Обозначим это приращение высоты так: ”S («дельта эс»). А заодно символом ”t («дельта тэ») обозначим временной интервал между соседними кадрами. Тогда средняя скорость подъёма на этом участочке пути выразится нехитрой дробью. Обратили внимание — скорость-то у нас опять средняя! Да, но чем меньше «дельта тэ», тем ближе значение нашей дроби к истинной скорости в первой точке. Если бы затвор киноаппарата при съёмке щёлкал бы в тысячу раз чаще, то промежуток времени между двумя соседними кадрами сократился бы тоже ровно в тысячу раз. Значение «моментальной» скорости стало бы точнее. И всё же до тех пор, покуда наша долька временной оси будет конечной (не бесконечно малой) величиной, отношение «дельта эс» к «дельта тэ» даёт лишь среднюю скорость между двумя моментами. А что, если сделать «дельта тэ» бесконечно малым? Иными словами, представив вторую точку трассы подвижной, теснить и теснить её к жёстко сидящей первой точке? Тогда «дельта тэ» устремится к нулю. «Дельта эс» тоже. А их отношение? Оно станет всё точнее и точнее передавать значение скорости стрелы в момент времени, запечатлённый на первом кадре. Но лишь в пределе она окажется мгновенной скоростью в тот самый момент. Этот предел отношения ”S/”t при ”t, стремящемся к нулю, изображается двухэтажным знаком dS/dt («дэ эс по дэ тэ») и называется производной функцией (в нашем случае производной от пути по времени). dS и dt называются дифференциалами (от латинского слова «разница»).
      Приведённое построение можно повторить применительно к любой точке нашей кривой. Впрочем, не обязательно только нашей, а вообще любой кривой. Конечно, вид производной будет неодинаковым для разных кривых, не говоря уже о том, что её значение меняется от точки к точке у каждой кривой. Но теперь мы знаем закон поведения производной: она меняется так же, как и угол наклона касательной к кривой в данной точке. И геометрический смысл произведений — тангенс этого угла. Ведь что такое наши «дельта эс» и «дельта тэ», как не катеты прямоугольного треугольника! Треугольник построен на гипотенузе с теми самыми краевыми точками, которые отмечали положение центра тяжести стрелы на обоих кадрах. Когда же мы начали сдвигать эти соседние точки, гипотенуза слилась с касательной.
      Так вот: отыскав производную, мы продифференцировали функцию — в нашем случае уравнение параболы. Зная производную, мы можем найти и первоначальную (первообразную) функцию, то есть проделать обратную операцию — интегрирование. Приёмы дифференцирования и интегрирования едва ли сложнее алгебраических правил. Но нас сейчас волнует не это. Какой смысл таится в дроби? Здесь и числитель и знаменатель вроде бы… нули! Но ведь отношение нулей — абсурд!