Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название этой науке было дано потому, что в древнее время главной целью геометрии было измерение расстояний и площадей на земной поверхности.
      Геометрия часто применяется на практике. Её надо знать и рабочему, и инженеру, и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем.
      Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.
      Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.
      Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений.
      Также не определяются такие понятия (отношения), как «лежать между», «принадлежать», «проходить через...» и так далее.
      Остальным геометрическим фигурам и другим понятиям даются определения. Определение – это предложение, в котором разъясняется смысл и содержание того или иного понятия. При этом разъяснение состоит в том, что оно сводится к ранее определённым понятиям.
      Существует несколько подходов к построению курса планиметрии (и геометрии в целом):аксиоматический, аналитический, векторный, групповой.
      Аксиоматическая теория строится следующим образом:
      1) даются неопределяемые понятия (в нашем случае это точка и прямая);
      2) вводятся неопределяемые отношения (связи между понятиями – «лежать между», «принадлежать» и так далее);
      3) даётся система аксиом – то есть утверждений, принимаемых без доказательства;
      4) на основе аксиом и законов математической логики доказываются теоремы.
      Аксиом, как правило, немного, а вот теорем – бесконечное множество. К аксиомам планиметрии можно отнести следующие:
      1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
      Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
      2. Из трёх точек на данной прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
      3. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин его частей, на которые он разбивается любой его точкой.
      4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
      5. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
      6. На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
      7. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
      8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.
      9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
      На основе приведённых аксиом доказываются различные свойства геометрических фигур (теоремы). Доказать теорему – значит провести логически правильное рассуждение о свойстве той или иной геометрической фигуры.
      Любая теорема состоит из двух частей: условия и заключения. Записывают это так: У ? З (из условия следует заключение; или: если У, то З). Например: У = «углы ? и ? – вертикальные», З = «углы ? и ? равны». Получаем верное утверждение (теорему):У ? З (если углы и – вертикальные, то они равны, или, проще: вертикальные углы равны).
      К каждому утверждению У ? З, называемому прямым, можно написать ещё три:
      З ? У – обратное утверждение;
      не У ? не З – противоположное утверждение;
      не З ? не У – противоположное к обратному утверждение.
      В нашем примере обратное утверждение (если углы равны, то они вертикальны) и противоположное утверждение (если углы не вертикальные, то они не равны) являются ложными, а вот противоположное к обратному утверждение (если углы не равны, то они не вертикальные) – истинно.
      Вообще, в математической логике есть закон контрапозиции, который гласит, что прямое и противоположное к обратному утверждения эквивалентны (по этому же закону эквивалентны обратное и противоположное утверждения).
      На законе контрапозиции основан метод доказательства теорем от противного.
      Пусть требуется доказать теорему У ? З. Мы предполагаем, что её заключение неверно. Далее логически доказываем, что тогда и У неверно. Иными словами, мы доказываем противоположную к обратной теореме: не З ? не У. Тогда прямая теорема по закону контрапозиции также верна. Метод доказательства от противного применяется тогда, когда противоположная к обратной теорема доказывается проще прямой теоремы.
      Теоремы можно поделить и по другому основанию. Выделяют теоремы-свойства и теоремы-признаки. В теоремах-свойствах доказываются свойства заданных геометрических фигур. Например, утверждение: «в ромбе диагонали перпендикулярны друг другу», «медианы в треугольнике делятся в отношении 2:1» – это теоремы свойства. Теоремы-признаки – это утверждения, благодаря которым можно определить, о какой фигуре идет речь. Например, «если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм». Безусловно, верно и обратное утверждение: «у параллелограмма противоположные стороны равны». Иными словами, равенство противоположных сторон является не только свойством, но и признаком параллелограмма.
      Свойство фигуры, которое является одновременно и её признаком, называется характеристическим свойством (критерием) данной геометрической фигуры. В принципе, любое характеристическое свойство фигуры можно принять за её определение.
      Иногда для удобства выделяют два частных случая теорем – следствие и лемму. Следствие – это утверждение, непосредственно вытекающее из теоремы. Лемма – это вспомогательное утверждение, используемое при доказательстве основной теоремы.
      Множество всех неопределяемых понятий и отношений, аксиом и теорем называют аксиоматической теорией. Аксиоматическая теория, построенная на основе девяти приведённых аксиом, называется евклидовой.
 
       Несколько дополнительных сведений по аксиоматическому подходу в геометрии. Система аксиом геометрии подбирается не произвольным образом. К ней предъявляются три основных требования: независимости, непротиворечивости и полноты.
      Система аксиом называется независимой, если ни одну из аксиом нельзя вывести как теорему из других аксиом (тогда данная аксиома была бы лишней).
      Система аксиом называется непротиворечивой, если из неё нельзя вывести две теоремы, которые противоречат друг другу.
      Систему аксиом называют полной, если какое бы утверждение о свойстве той или иной геометрической фигуры мы ни сформулировали, всегда можно установить – истинно оно или ложно.
      Приведённая выше система аксиом евклидовой геометрии удовлетворяет всем трём требованиям (доказано А. В. Погореловым).
      Помимо евклидовой существуют и другие аксиоматические теории (неевклидовы геометрии). Например, если девятую аксиому евклидовой геометрии заменить на её отрицание («Через точку, не лежащую на прямой, можно провести более одной прямой, параллельной данной»), а остальные оставить без изменения, получим планиметрию Лобачевского. Тогда будут доказаны неожиданные для нас утверждения: «Сумма углов в треугольнике меньше двух прямых», «существуют треугольники, около которых нельзя описать окружность», «не существует подобных треугольников» и многие другие.
      Изменяя систему аксиом, а также меняя неопределяемые понятия и отношения, мы будем получать другие неевклидовы геометрии (сферическую, эллиптическую и так далее).
      Помимо аксиоматического, в геометрии широко распространён аналитический подход. Его суть состоит в том, что на плоскости вводится система координат и каждой точке ставится в соответствие пара чисел (х; у) – её координаты. Благодаря этому удаётся записывать уравнения различных фигур (прямых, окружностей и так далее), изучать их свойства. Введение декартовой прямоугольной системы координат и применение алгебраического аппарата нередко позволяют легче решать многие задачи по геометрии.
      Обобщением (в определённом смысле) аналитического подхода в геометрии является векторный подход. Разница состоит в том, что на плоскости вводится векторная (аффинная) система координат, причём два базисных вектора не обязательно перпендикулярны друг другу и к тому же могут различаться по длине. Введение векторной системы координат также нередко позволяет быстрее и проще решать целый ряд геометрических задач.
      В высшей геометрии весьма распространён групповой подход. Группой называется непустое множество М, на котором определена некоторая операция*, причём выполняются следующие условия:
      1) для любых элементов а, в, с из М(а*в)*с = а*(в*с):
      2) существует элемент е из М, такой, что а*е = е*а = а:
      3) для любого элемента а существует элемент а-1, что а*а-1= а-1*а = е.
      В геометрии можно выделить множество групп, например, группу перемещений, группу преобразования подобия. Самой важной группой в планиметрии является группа перемещений плоскости, так как с её помощью вводится понятие равных фигур. Равные фигуры обладают одинаковыми геометрическими свойствами, которые не изменяются (инвариантны) под действием перемещений. В целом можно сказать, что каждая группа преобразований задаёт свою геометрию, в которой изучаются свойства фигур, инвариантные (неизменяемые) относительно данной группы преобразований.
      Инварианты группы перемещений (и других групп) «невидимо» присутствуют при решении задач методом геометрических преобразований. Так, строя образы фигур при различных видах движений (симметрия, параллельный перенос и так далее), мы получаем равные фигуры, что позволяет в ряде случаев успешно решать сложные задачи.

      1. Что изучает геометрия? (1)
      2. Что означает слово «геометрия» в переводе с греческого языка? (1)
      3. В каких видах человеческой деятельности нужны знания по геометрии и пространственное воображение? Покажите эту значимость в деятельности: а) рабочего; б) инженера; в) архитектора; r) художника; д) Вас лично в решении бытовых задач. (1)
      4. Что изучает планиметрия? Приведите примеры геометрических фигур и их свойств. (1)
      5. Назовите основные (неопределяемые) понятия в планиметрии. (1)
      6. Какие вы знаете неопределяемые отношения в курсе геометрии? (1)
      7. Что значит дать определение геометрической фигуры? (1)
      8. В чем состоит сущность аксиоматического подхода в геометрии? (1)
      9. Что такое аксиома? (1)
      10. Что такое теорема? (1)
      11. Перечислите аксиомы планиметрии. (1)
      12. Что значит доказать теорему? (1)
      13. Из каких частей состоит теорема? (1)
      14. Какая теорема называется: а) обратной; б) противоположной; в) противоположной к обратной? (1)
      15. Даны четыре теоремы: прямая, обратная, противоположная, противоположная к обратной. Какие пары из перечисленных теорем являются эквивалентными? (1–2)
      16. В чем состоит сущность метода доказательства теорем от противного? (1)
      17. Что такое теорема-свойство и теорема-признак? (1)
      18. Что такое характеристическое свойство геометрического объекта (фигуры, тела и т. д.)? Как связаны между собой термины «характеристическое свойство объекта» и «определение объекта»? (1)
      19. Какие требования предъявляются к системе аксиом? (3)
      20. Как вы понимаете следующие высказывания:
      а) система аксиом непротиворечива; (3)
      б) система аксиом независима; (3)
      в) данная система аксиом – полная (3)?
      21. Какая геометрия называется евклидовой? (1)
      22. Какие неевклидовы геометрии вы знаете? (3)
      23. В чем отличие аксиоматики Лобачевского от систем аксиом Евклида? (3)
      24. В чем суть аналитического подхода в геометрии? (2)
      25. Что такое аффинная система координат? (2)
      26. Что такое группа? В чем суть группового подхода в геометрии? (3)
      27. Что такое инвариант? (3)

      1. Высказывания. Операции над высказываниями. Законы математической логики.(2)
      2. Основные факты планиметрии Лобачевского. (3)
      3. Особенности геометрии на сфере. (3)
      4. Методы доказательства теорем (прямое доказательство, от противного, контрпример, метод симметрии и т. д.). (1–2)
      5. Группы преобразований плоскости и их инварианты. (3)
      6. Топологические многообразия в геометрии. (3)

      На экзамене по геометрии очень важно давать правильные (корректные) определения. Часто допускаются такие ошибки, как «порочный круг» (например, круг – это часть плоскости, ограниченной окружностью, а окружность – это граница круга), наличие синонима определяемого термина в определении, пропуск «несущественных деталей» (например, касательная к окружности – это прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, «деталь» – это тот факт, что прямая должна лежать с окружностью в одной плоскости).
      Определения геометрических фигур можно дать различными способами:
      1. Через род и видовое отличие.
      Например: квадрат – это прямоугольник с равными сторонами. Прямоугольник в определении – ближайший род, равенство сторон – видовое отличие.
      2. Генетически (указание происхождения понятия).
      Например, окружность – это множество точек плоскости, находящихся на равном расстоянии от данной точки, лежащей в этой плоскости.
      3. Через указание свойств фигуры (дескрипции).
      Пример: число ? – это то число, которое, будучи умножено на длину диаметра, даёт длину его окружности.
      4. Конструктивно (указывается способ построения объекта).
      Пример: пусть дана произвольная окружность. Разделим её на n равных частей последовательно расположенными точками А1, А2..., Ап. Замкнутая ломаная A1A2...АnА1 образует правильный n-угольник.
      5. Аксиоматически.
      К примеру, определение площади фигуры F даётся как числовая функция S(F), удовлетворяющая определённым условиям (аксиомам).
      Другие способы дачи определений в геометрии встречаются крайне редко.
 
      Перейдём к определениям.
      Неопределяемыми геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.
      Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, D .... Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, b, с, d ....
      Точка А лежит на прямой а, точка В лежит на прямой b, точка О принадлежит одновременно прямым а и b, т. е. является точкой пересечения этих прямых (рис. 1).
      Рис. 1.
 
      Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными её точками. Эти две точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда говорят или пишут: «отрезок АВ», то подразумевают отрезок с концами в точках А и В (рис. 2).
      Рис. 2.
 
      [АВ] – отрезок АВ.
      Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Это разбиение обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.
      Отрезок АВ не пересекает прямую а, отрезок АС пересекает прямую а (рис. 3).
      Рис. 3.
 
      Лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой луча. Различные лучи одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называют дополнительными (рис. 4).
      Рис. 4.
 
      Лучи, так же как и прямые, обозначаются строчными латинскими буквами. Точка А является начальной точкой двух лучей p и q. Лучи p и q являются дополнительными.
      Углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла – и двух различных лучей или отрезков, исходящих из этой точки – сторон угла. Слово «угол» иногда заменяют знаком ? (рис. 5, 6).
      Рис. 5.
      Рис. 6.
 
      На рис. 5 угол ? = ?АОВ образован двумя отрезками ОА и ОВ.
      На рис. 6 угол ? образован двумя лучами р и q, имеющими начальную точку О.
      Если стороны угла являются дополнительными лучами одной прямой, то угол называют развёрнутым (рис. 7).
      Рис. 7.
 
      Угол А является здесь развёрнутым.
      Луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок, соединяющий любые две точки, лежащие на разных сторонах угла.
      Луч q проходит между сторонами ОА и OB угла AOB (рис. 8).
      Рис. 8.
 
      Углы измеряют в градусах и радианах. При этом ? радиан = 180°.
      Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами (рис. 9).
      Рис. 9.
 
      Сумма смежных углов равна 180°.
      Лучи p и q – дополнительные, точка В принадлежит лучу p а точка А принадлежит лучу q. Углы СОА и СОВ – смежные.
      Угол, равный 90°, называется прямым.
      Угол, меньший 90°, называют острым углом. Угол, больший 90° и меньший 180°, называют тупым (рис. 10, а; б; в).
      Рис. 10.
 
      Углы:?АОВ – прямой, ?COD – острый, ?EOF – тупой.
      На рисунках прямые углы часто обозначают знаками ?, ?.
      Два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого (рис. 11).
      Рис. 11.
 
      р и q – дополнительные лучи одной прямой, а m и n – дополнительные лучи другой прямой. Точка О – точка пересечения этих двух прямых и является начальной точкой всех указанных выше лучей.
      Точки А, В, С, D лежат на соответствующих лучах.
      Углы АОВ и COD – вертикальные.
      Две прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Перпендикулярность прямых обозначается знаком ? (рис. 12):
      а ? b.
      Рис. 12.
 
      Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
      Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра (рис. 13):
      АA' – перпендикуляр к прямой a, A' – обоснование перпендикуляра.
      Рис. 13.
 
      Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам (рис. 14).
      Рис. 14.
 
      ОС – биссектриса угла АОВ (?АОС = ?ВОС).
      Пусть две прямые a и b пересечены прямой с.
      Прямая с по отношению к прямым a и b называется секущей (рис. 15).
      Рис. 15.
 
      Углы 3 и 5 (4 и 6) называются внутренними накрест лежащими, углы 3 и 6 (4 и 5) – внутренними односторонними, углы 1 и 6 (2 и 5) – соответственными.
      Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. Для обозначения параллельности прямых используется знак||(рис. 16):
      а||b.
      Рис. 16.
 
      Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами (рис. 17):
      ?ABC.
      Рис. 17.
 
      Углом треугольника ABC при вершине А называется угол, образованный отрезками АВ и АС. Также определяются углы треугольника при вершинах В и С.
      Две фигуры называются равными, если они при наложении друг на друга совпадают (т. е. существует движение, переводящее одну фигуру в другую). Таким образом, треугольники равны, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны (при этом соответствующие углы лежат против соответствующих сторон).
      Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника (рис. 18).
      Рис. 18.
 
      ?ABC – равнобедренный (АВ = ВС – боковые стороны, АС – основание).
      Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (рис. 19).
      Рис. 19.
 
      ? DEF– равносторонний (DE = EF = DF).
      Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника (рис. 20, а; б).
      Рис. 20.
 
      ВН – высота в треугольнике ABC (ВН ? АС).
      Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне (рис. 21).
      Рис. 21.
 
      AL – биссектриса в треугольнике ABC (?BAL = ?CAL).
      Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис. 22).
      Рис. 22.
 
      AM – медиана треугольника ABC (BM = MC).
      Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине (рис. 23).
      Рис. 23.
 
      ? – внешний угол ?ABC при вершине А.
      Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол (рис. 24).
      Рис. 24.
 
      Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.
      ?ABC – прямоугольный (?А = 90°). АВ и АС – катеты, ВС – гипотенуза.
      Треугольник называется остроугольным, если все его углы – острые. Треугольник называется тупоугольным, если у него есть тупой угол.
      ?ABC – остроугольный, ?А < 90° (рис. 25, а);
      ?ABC – тупоугольный, ?А > 90° (рис. 25, б).
      Рис. 25.
 
      Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух любых сторон треугольника (рис. 26).
      Рис. 26.
 
      EF – средняя линия ?ABC (АЕ = ЕВ. CF = FB).
      Египетским называется прямоугольный треугольник, у которого длины сторон выражаются целыми числами (например:3, 4, 5 или 5, 12, 13 и так далее).
      Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки. Эта заданная точка называется центром окружности.
      Расстояние от точек окружности до её центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также отрезок, соединяющий любую точку окружности с её центром (рис. 27).
      Рис. 27.
 
      ОА – радиус окружности.
      Радиусы окружностей часто обозначают буквами R или r, т. е. ОА = R или ОА = r.
      Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью (рис. 28).
      Рис. 28.
 
      Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности (рис. 29).
      Рис. 29.
 
      АВ – диаметр окружности, CD – хорда.
      Диаметры окружностей часто обозначают буквами D или d. Очевидно, что D = 2R или d = 2 r.
      Дуга окружности – это её часть, ограниченная двумя точками окружности (рис. 30).
      Рис. 30.
 
      Точки А и В делят окружность на две дуги:1 и 2.
      Сектор круга – часть круга, ограниченная двумя радиусами и соответствующей дугой (рис. 31).
      Рис. 31.
 
      Радиусы ОА и ОВ разделили круг на два сектора:1 и 2.
      Сегмент круга – это часть круга, ограниченная хордой и соответствующей дугой (рис. 32).
      Рис. 32.
 
      Хорда АВ делит круг на два сегмента:1 и 2.
      Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины (рис. 33).
      Рис. 33.
 
      ОА = ОВ = ОС = R.
      Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром (рис. 34). В связи с этим говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
      а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ (АО = ОВ).
      Рис. 34.
 
      Прямая, проходящая через точку окружности в той же плоскости перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания (рис. 35).
      Рис. 35.
 
      а – касательная к окружности, А – точка касания, а ? ОА.
      Говорят, что две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную. Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной. Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной (рис. 36, а; б).
      Рис. 36.
 
      а – общая касательная к двум окружностям, К – точка касания.
      Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон (рис. 37).
      Рис. 37.
 
      Точки K, L, M – это точки касания окружности, вписанной в ?ABC. OK = OL = OM = r.
      В задачах на построение речь идет о построении геометрической фигуры с помощью данных чертёжных инструментов. Такими инструментами чаще всего являются линейка и циркуль. Решение задачи состоит не столько в построении фигуры, сколько в решении вопроса о том, как это сделать, и соответствующем доказательстве. Задача считается решённой, если указан способ построения фигуры и доказано, что в результате выполнения указанных построений действительно получается фигура с требуемыми свойствами.
      С помощью линейки, как инструмента геометрических построений, можно провести произвольную прямую; произвольную прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую через две данные точки. Никаких других операций выполнить линейкой нельзя. В частности, нельзя откладывать линейкой отрезки, даже если на ней имеются деления.
      Циркуль, как инструмент геометрических построений, позволяет описать из данного центра окружность определенного радиуса. Циркулем также можно отложить определенный отрезок на данной прямой от заданной точки.
      Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определённым свойством.
      Например, окружность можно определить как геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от данной точки.
      Сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач, состоит в следующем. Пусть, решая задачу, нам надо найти точку X, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура F1, а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура F2. Искомая точка X принадлежит F1 и F2 т. е. является их точкой пересечения. Если эти геометрические места простые (скажем, состоят из прямых и окружностей), то мы можем их построить и найти интересующую нас точку X.
      Ломаной А1А2А3...An называется фигура, которая состоит из точек А1, А2 ..., An и соединяющих их отрезков А1A2, A2A3, ..., An-1, Aп. ТочкиА1, А2..., Аn называются вершинами ломаной, а отрезки A142, A2A3 ..., An-1, An – звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений (рис. 38).
      Рис. 38.
 
      А1A2A3A4 – простая ломаная из трёх звеньев.
      Ломаная называется замкнутой, если у неё концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если её соседние звенья не лежат на одной прямой. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной – сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями. Многоугольник с n-вершинами, а значит, и с n-сторонами называется n-угольником.
      Плоским многоугольником и многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником.
      Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону (рис. 39). Многоугольник называется невыпуклым, если он оказывается лежащим по обе стороны прямой, содержащей любую его сторону (рис. 40).
      Рис. 39.
      Рис. 40.
 
      Выпуклый многоугольник называют правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.
      Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.
      Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины многоугольника, называются диагоналями.
      Стороны многоугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.
      Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых (рис. 41).
      Рис. 41.
 
      ABCD – параллелограмм, т. к. ВС||AD и АВ||CD.
      Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые (рис. 42).
      Рис. 42.
 
      ABCD – прямоугольник, т. к. ?А = ?В = ?С = ?D = 90°.
      Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 43).
      Рис. 43.
 
      ABCD – ромб, т. к. AD||ВС и АВ||DC и AB = BC = CD = AD.
      Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Можно также сказать, что квадрат – это ромб, у которого все углы прямые (рис. 44).
      Рис. 44.
 
      ABCD – квадрат, т. к. ?А = ?В = ?С = ?D = 90° и АВ = ВС = CD = DA.
      Трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами (рис. 45).
      Рис. 45.
 
      ABCD и А' В' С' D' – трапеции, т. к. BC||AD, BC||AD.
      Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется раенобокой (рис. 46).
      Рис. 46.
 
      ABCD – равнобедренная трапеция (АВ = CD).
      Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции (рис. 47).
      Рис. 47.
 
      EF – средняя линия трапеции ABCD: AE = EB, DF = FC.
      Пусть ВА – перпендикуляр, опущенный из точки В на прямую а, и С – любая точка прямой а, отличная от А. Отрезок ВС называется наклонной, проведённой из точки В к прямой а. Точка С называется основанием наклонной. Отрезок АС называется проекцией наклонной (рис. 48).
      Рис. 48.
 
      ВА – перпендикуляр к прямой а, ВС – наклонная.
      Проведём на плоскости через точку О две взаимно перпендикулярные прямые х и у – оси координат. Ось х (она обычно горизонтальная) называется осью абсцисс, а ось у – осью ординат. Точкой пересечения О – началом координат – каждая из осей разбивается на две полуоси. Условимся одну из полуосей каждой оси называть положительной, отмечая её стрелкой, а другую – отрицательной.
      Каждой точке А плоскости мы сопоставим пару чисел – координаты точки – абсциссу х и ординату у по следующему правилу.
      Через точку А проведём прямую, параллельную оси ординат. Она пересечёт ось абсцисс х в некоторой точке Аx. Абсциссой точки А мы будем называть число х, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки Аx. Это число будет положительным, если Аx принадлежит положительной полуоси и отрицательным, если А принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси ординат y, то полагаем х равным нулю.
      Ордината j точки А определяется аналогично. Через точку А проведём прямую, параллельную оси абсцисс х. Она пересечёт ось ординату в некоторой точке Аy. Ординатой точки А мы будем называть число у, абсолютная величина которого равна расстоянию от точки О до точки Аy. Это число будет положительным, если Аy принадлежит положительной полуоси, и отрицательным, если А принадлежит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси абсцисс х, то полагаем у равным нулю.
      Координаты точки записывают в скобках рядом с буквенным обозначением точки, например: А(х; у) (на первом месте абсцисса, на втором – ордината) (рис. 49).
      Рис. 49.
 
      Уравнением фигуры в декартовых координатах на плоскости называется уравнение с двумя неизвестными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры.
      Например, уравнение прямой у = kx + b, где k – тангенс угла наклона прямой к оси Ох (рис. 50).
      Рис. 50.
 
      Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Симметрия относительно точки, симметрия относительно прямой, поворот, параллельный перенос – виды движений.
      Два отрезка называют одинаково направленными, или сонаправленными, если они совмещаются параллельным переносом.
      Векторы АВ и CD называют одинаково направленными, если отрезки АВ и CD одинаково направлены. Векторы АВ и CD называют противоположно направленными, если отрезки АВ и CD противоположно направлены. Первая буква в обозначении вектора является его началом, а вторая буква – его концом. Например, у вектора АВ точка А – начало вектора, а точка В – его конец (рис. 51).
      Рис. 51.
 
      Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Обозначают модуль вектора (на пример, АВ) следующим образом:|АВ|. Очевидно, что |AB| = AB, где АВ – это длина отрезка АВ.
      Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором.
      Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора (рис. 52).
      Рис. 52.
 
      Пусть вектор а имеет началом точку А1(х1; у1), а концом точку А2(х2; у2). Координатами вектора а будем называть числа a1 = x2 – x1, a2 = y2 – y1.
      Суммой векторов а и b с координатами а1, а2 и BL, b2 называется вектор с с координатами a1 + BL, a2 + b2.
      Разностью векторов а (a1; a2) и b (BL; b2) называется такой вектор с (с1; с2), который в сумме с вектором b даёт вектор а, т. е. b + с = а. Отсюда находим координаты вектора с = а – b: с1 = а1 – BL: с2 = а2 – b2.
      Удобно производить разложение вектора по двум перпендикулярным осям. В этом случае составляющие вектора называются проекциями вектора на оси.
      Произведением вектора а (a1; a2) на число k называется вектор с координатами (kа1; kа2).
      Два вектора а и b называются коллинеарными (параллельными), если существует такое число k ? 0, что вектор а есть kb.
      Разложить вектор а по векторам b и с – значит найти такие числа n, m, что а = nb + mc.
      Скалярным произведением векторов а (a1; a2) и b (BL; b2) называют число a1BL + a2b2.
      Углом между ненулевыми векторами АВ и АС называется угол ВАС. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами а и b называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.
      Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.
      Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, называют координатными векторами или ортами.
      Преобразование фигуры F в фигуру F1 называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X1, Y1 фигуры F1, то X1Y1 = k ? ХУ, причём число k – одно и то же для всех точек X, Y. Число k называется коэффициентом подобия. При k = 1 преобразование подобия, очевидно, является движением.
      Пусть F – данная фигура и О – фиксированная точка. Проведём через произвольную точку X фигуры F отрезок ОХ и отложим на нём отрезок ОХ1 равный k ? ОХ, где k – положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая её точка X переходит в точку X1 построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F1 называют гомотетичными.
      На рис. 53 ?АВС и ?A1В1С1 – гомотетичны.
      Рис. 53.
 
      Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.
      Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.
      Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в её центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла (рис. 54).
      ?АОВ (угол ?) – центральный.
      Рис. 54.
 
      Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность (рис. 55).
      Рис. 55.
 
      ?АСВ (угол ?) – вписанный.
      Геометрическую фигуру будем называть простой, если её можно разбить на конечное число плоских треугольников. Напомним, что плоским треугольником мы называем конечную часть плоскости, ограниченную треугольником.
      Дадим определение площади для простых фигур.
      Для простых фигур площадь – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:
      1. Равные фигуры имеют равные площади.
      2. Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей.
      3. Площадь квадрата со стороной, равной единице, равна единице.

      1. Как принято обозначать точки и прямые на чертеже или в тексте? (1)
      2. Что такое отрезок? Нарисуйте произвольный отрезок и отметьте его концы. Как принято обозначать отрезок? (1)
      3. Что такое полуплоскость? (1)
      4. Что такое луч? Как принято обозначать луч? (1)
      5. Какие лучи называются дополнительными? (1)
      6. Что такое угол? Как принято обозначать угол? Нарисуйте произвольный угол и укажите его вершину и стороны. (1)
      7. Какой угол называется развёрнутым? (1)
      8. Как Вы понимаете фразу: «Луч проходит между сторонами данного угла»? (1)
      9. В чём измеряют углы? Каковы градусная и радианная мера развёрнутого угла? (1)
      10. Какие углы называют смежными? Чему равна сумма смежных углов? (1)
      11. Какой угол называется: а) прямым; б) острым; в) тупым? (1)
      12. Какие углы называются вертикальными? (1)
      13. Какие прямые называются перпендикулярными? Как обозначается перпендикулярность прямых? (1)
      14. Что называют перпендикуляром к прямой? Сделайте соответствующий рисунок и покажите основание перпендикуляра. (1)
      15. Дайте определение биссектрисы угла. (1)
      16. Какая прямая называется секущей по отношению к двум другим? (1)
      17. Нарисуйте две прямые и третью – секущую по отношению к первым двум. Покажите на рисунке пары: а) внутренних односторонних; б) внутренних накрест лежащих; в) соответственных углов. (1)
      18. Какие прямые называются параллельными? Как обозначается параллельность прямых? (1)
      19. Что такое треугольник? Нарисуйте произвольный треугольник и укажите его вершины, стороны и углы. (1)
      20. Какие фигуры называются равными? (1)
      21. Какой треугольник называется равнобедренным? Нарисуйте равнобедренный треугольник, укажите его основание и боковые стороны. (1)
      22. Какой треугольник называется равносторонним? (1)
      23. Что такое высота треугольника? Нарисуйте прямоугольный и тупоугольный треугольники и проведите «на глазок» в каждом из них все высоты. (1)
      24. Что такое биссектриса треугольника? (1)
      25. Что такое медиана треугольника? (1)
      26. Что такое внешний угол треугольника? (1)
      27. Какой треугольник называется:
      а) прямоугольным; б) остроугольным; в) тупоугольным? (1)
      28. Что такое гипотенуза и катет? (1)
      29. Что называют средней линией треугольника? (1)
      30. Какой треугольник называется египетским? Приведите пример такого треугольника. (1)
      31. Что такое окружность? (1)
      32. Что такое круг? (1)
      33. Что такое радиус окружности (круга)? (1)
      34. Что такое хорда? (1)
      35. Что такое дуга окружности? (1)
      36. Что такое диаметр окружности (круга)? (1)
      37. Что такое сектор круга? (1)
      38. Что такое сегмент круга? (1)
      39. Что такое серединный перпендикуляр к отрезку? (1)
      40. Какая окружность называется описанной около треугольника? (1)
      41. Какая окружность называется вписанной в треугольник? (1)
      42. Что такое касательная к окружности? (1)
      43. Как вы понимаете высказывания: «внутреннее касание окружностей», «внешнее касание окружностей»? (1)
      44. Что такое общая касательная к окружностям? (1)
      45. В каких случаях две окружности имеют: а) одну; б) две; в) три; r) четыре общих касательных? (2)
      46. Что означает решить задачу на построение с помощью циркуля и линейки? (1)
      47. Какой смысл вкладывается в следующие этапы решения задач на построение: анализ, построение, доказательство, исследование? (2)
      48. Как вы понимаете термин «геометрическое место точек»? (1)
      49. В чём состоит сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач на построение? (2)
      50. Что такое ломаная? (1)
      51. Какая ломаная называется замкнутой? (1)
      52. Дайте определение многоугольника (на плоскости). Нарисуйте произвольный пятиугольник, отметьте его вершины и проведите в нём все диагонали. (1)
      53. Какой многоугольник называется выпуклым? (1)
      54. Какой многоугольник называется правильным? (1)
      55. Какой многоугольник называется: вписанным в окружность; описанным около окружности? (1)
      56. Что называют периметром многоугольника? (1)
      57. Дайте определение параллелограмма. (1)
      58. Дайте определение прямоугольника. (1)
      59. Дайте определение ромба. (1)
      60. Дайте различные определения квадрата. (1)
      61. Дайте определение трапеции. Какие стороны трапеции называются основаниями, какие – боковыми сторонами? (1)
      62. Какая трапеция называется равнобокой? (1)
      63. Что называют средней линией трапеции? (1)
      64. Что называют наклонной, проведённой из точки, не лежащей на прямой, на эту прямую? Что называют проекцией этой наклонной? (1)
      65. Как на плоскости вводится декартова система координат? (1)
      66. Что такое абсцисса и ордината точки? (1)
      67. Что называют уравнением фигуры? (1)
      68. Какой геометрический смысл имеет число k в уравнении прямой у = kx + в?(1)
      69. Что такое движение? (1)
      70. Назовите виды движений на плоскости. Покажите на конкретных примерах, как построить образы фигур при данных видах движений. (1)
      71. Какие два луча называются сонаправленными и противоположно направленными? (1)
      72. Что такое вектор? Как обозначать вектор? (1)
      73. Какие два вектора называются одинаково направленными и противоположно направленными? (1)
      74. Что такое абсолютная величина (модуль) вектора? (1)
      75. Какой вектор называют нулевым? (1)
      76. Какие два вектора назьшают равными? (1)
      77. Как вводятся координаты вектора через координаты его начала и конца? (1)
      78. Что называют суммой векторов? Нарисуйте два произвольных вектора и покажите их сумму. (1)
      79. Что назьшают разностью векторов? Нарисуйте два произвольных вектора и покажите их разность. (1)
      80. Что называют проекцией вектора на ось? Покажите на рисунке. (1)
      81. Что называют произведением вектора на число? Нарисуйте произвольный вектор а, а также b = 2а и с = -1/2а (1)
      82. Что значит разложить вектор а по векторам b и с? (1)
      83. Дайте определение скалярного произведения векторов. (1)
      84. Что называют углом между векторами? Чем отличается угол между векторами от угла между прямыми? (1)
      85. В каком случае скалярное произведение векторов равно нулю? (1)
      86. Дайте определение координатного вектора (орта). (1)
      87. Какое преобразование называется преобразованием подобия? (1)
      88. Что такое гомотетия? (1)
      89. Какие фигуры называются подобными? Как обозначать подобие фигур? (1)
      90. Что называют центральным углом в окружности? (1)
      91. Как определить градусную меру дуги окружности? (1)
      92. Какой угол называется вписанным в окружность? (1)
      93. Как в курсе геометрии вводится понятие площади? (2)

      1. Замечательные точки в треугольнике. (1)
      2. Вневписанные окружности. (1–2)
      3. Радикальная ось и радикальный центр окружностей. Пучки окружностей. (3)
      4. Полярное соответствие. Принцип двойственности в геометрии. (3)
      5. Отображения и преобразования множеств. Композиция преобразований. Аффинные преобразования плоскости. (3)
      6. Инверсия плоскости относительно окружности. (3)
      7. Понятие длины. Расстояние между фигурами. (2)

      Приведём без доказательства основные теоремы планиметрии.
      Доказательства желательно изучать по вашему учебнику. Опасно изучать доказательство теорем по разным учебным пособиям – можно в погоне за простотой попасться на капкане «порочного круга». Приведём простой пример. Нужно доказать признаки параллельных прямых (если при пересечении двух прямых третьей сумма образовавшихся внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны).
      На рис. 56:m, n, a – прямые. Точка А – точка пересечения прямых m и а, В – точка пересечения прямых n и а.
      Рис. 56.
 
      Ученик привёл простое доказательство: если бы прямые m и n пересекались в некоторой точке С, то тогда из того, что сумма углов в треугольнике АСВ равна 180°, следует, что ?АСВ = 0°, что невозможно. Значит, прямые m и n параллельны.
      Но тут же ученику предложили доказать, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Учащийся сослался на свойства параллельных прямых. Но сами свойства параллельных прямых он стал доказывать на основе признаков параллельности прямых. Круг замкнулся. Поэтому в повторении теории будьте последовательны и внимательны. При чтении доказательства теоремы особое внимание обращайте на то, где в доказательстве использованы условия теоремы, какие ранее доказанные теоремы при этом использовались.
      В настоящем параграфе формулировки теорем приведены по учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7–9 классы».

Основные теоремы планиметрии и следствия из них

1. Теоремы о прямых (параллельность и перпендикулярность на плоскости)

      Свойства параллельных прямых.
      Две прямые, параллельные третьей, параллельны (рис. 57).
      (а||с, b||с) ? а||b.
      Рис. 57.
 
      Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180° (рис. 58).
      а||b ? ? = ?
      ? + ? = 180°.
      Рис. 58.
 
      Признаки параллельности прямых.
      Если при пересечении двух прямых третьей образующиеся внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны (рис. 59):
      внутренние накрест лежащие углы равны ? а||b.
      Рис. 59.
 
      Если при пересечении двух прямых третьей сумма образовавшихся внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны (рис. 60):
      а||b.
      Рис. 60.
 
      Если при пересечении двух прямых третьей образующиеся соответственные углы равны, то прямые параллельны (рис. 61):
      а||b.
      Рис. 61.
 
      Теоремы о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну (рис. 62).
      Рис. 62.
 
      Прямая b – единственная прямая, проходящая через точку А перпендикулярно а.
      Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один (рис. 63).
      Рис. 63.
 
      Прямая b – единственная прямая, проходящая через точку А перпендикулярно а.
 
      Связь между параллельностью и перпендикулярностью.
      Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны (рис. 64).
      (а ? с, b ? с) ? а||b.
      Рис. 64.
 
      Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой (рис. 65):
      (а ? b, b||с) ? а ? с.
      Рис. 65.

2 Теоремы об углах. Углы в треугольнике. Вписанные в окружность углы

      Свойство вертикальных углов.
      Вертикальные углы равны (рис. 66):
      ? = ?.
      Рис. 66.
 
      Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Верна и обратная теорема: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный (рис. 67):
      АВ = ВС ? ?А = ?С.
      Рис. 67.
 
      Теорема о сумме углов в треугольнике.
      Сумма внутренних углов треугольника равна 180° (рис. 68):
      ? + ? + ? = 180°.
      Рис. 68.
 
      Теорема о сумме углов в выпуклом n-угольнике.
      Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°?(n – 2) (рис. 69).
      Рис. 69.
 
      Пример:?1 + ?2 + ?3 + ?4 + ?5 = 180°?(5–2) = 540°.
 
      Теорема о внешнем угле треугольника.
      Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним (рис. 70):
      ? = ? + ?.
      Рис. 70.
 
      Теорема о величине вписанного в окружность угла.
      Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего q центрального угла (рис. 71):
      Рис. 71.

3. Основные теоремы о треугольнике

      Признаки равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 72).
      Рис. 72.
 
      ?ABC = ?A1B1C1 т. к. АB = А1В1, АС = А1С1 и ?A = ?A1.
      Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 73).
      Рис. 73.
 
      ?ABC = ?A1B1C1 т. к. АC = А1C1, ?A = ?A1, ?C = ?C1.
 
      Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 74).
      Рис. 74.
 
      ?ABC = ?A1B1C1 т. к. АB = А1B1, АC = А1C1, BC = B1C1.
 
      Признаки равенства прямоугольных треугольников.