Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название этой науке было дано потому, что в древнее время главной целью геометрии было измерение расстояний и площадей на земной поверхности.
      Геометрия часто применяется на практике. Её надо знать и рабочему, и инженеру, и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем.
      Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.
      Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.
      Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений.
      Также не определяются такие понятия (отношения), как «лежать между», «принадлежать», «проходить через...» и так далее.
      Остальным геометрическим фигурам и другим понятиям даются определения. Определение – это предложение, в котором разъясняется смысл и содержание того или иного понятия. При этом разъяснение состоит в том, что оно сводится к ранее определённым понятиям.
      Существует несколько подходов к построению курса планиметрии (и геометрии в целом):аксиоматический, аналитический, векторный, групповой.
      Аксиоматическая теория строится следующим образом:
      1) даются неопределяемые понятия (в нашем случае это точка и прямая);
      2) вводятся неопределяемые отношения (связи между понятиями – «лежать между», «принадлежать» и так далее);
      3) даётся система аксиом – то есть утверждений, принимаемых без доказательства;
      4) на основе аксиом и законов математической логики доказываются теоремы.
      Аксиом, как правило, немного, а вот теорем – бесконечное множество. К аксиомам планиметрии можно отнести следующие:
      1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
      Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
      2. Из трёх точек на данной прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
      3. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин его частей, на которые он разбивается любой его точкой.
      4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
      5. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
      6. На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
      7. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
      8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.
      9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
      На основе приведённых аксиом доказываются различные свойства геометрических фигур (теоремы). Доказать теорему – значит провести логически правильное рассуждение о свойстве той или иной геометрической фигуры.
      Любая теорема состоит из двух частей: условия и заключения. Записывают это так: У ? З (из условия следует заключение; или: если У, то З). Например: У = «углы ? и ? – вертикальные», З = «углы ? и ? равны». Получаем верное утверждение (теорему):У ? З (если углы и – вертикальные, то они равны, или, проще: вертикальные углы равны).
      К каждому утверждению У ? З, называемому прямым, можно написать ещё три:
      З ? У – обратное утверждение;
      не У ? не З – противоположное утверждение;
      не З ? не У – противоположное к обратному утверждение.
      В нашем примере обратное утверждение (если углы равны, то они вертикальны) и противоположное утверждение (если углы не вертикальные, то они не равны) являются ложными, а вот противоположное к обратному утверждение (если углы не равны, то они не вертикальные) – истинно.
      Вообще, в математической логике есть закон контрапозиции, который гласит, что прямое и противоположное к обратному утверждения эквивалентны (по этому же закону эквивалентны обратное и противоположное утверждения).
      На законе контрапозиции основан метод доказательства теорем от противного.
      Пусть требуется доказать теорему У ? З. Мы предполагаем, что её заключение неверно. Далее логически доказываем, что тогда и У неверно. Иными словами, мы доказываем противоположную к обратной теореме: не З ? не У. Тогда прямая теорема по закону контрапозиции также верна. Метод доказательства от противного применяется тогда, когда противоположная к обратной теорема доказывается проще прямой теоремы.
      Теоремы можно поделить и по другому основанию. Выделяют теоремы-свойства и теоремы-признаки. В теоремах-свойствах доказываются свойства заданных геометрических фигур. Например, утверждение: «в ромбе диагонали перпендикулярны друг другу», «медианы в треугольнике делятся в отношении 2:1» – это теоремы свойства. Теоремы-признаки – это утверждения, благодаря которым можно определить, о какой фигуре идет речь. Например, «если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм». Безусловно, верно и обратное утверждение: «у параллелограмма противоположные стороны равны». Иными словами, равенство противоположных сторон является не только свойством, но и признаком параллелограмма.
      Свойство фигуры, которое является одновременно и её признаком, называется характеристическим свойством (критерием) данной геометрической фигуры. В принципе, любое характеристическое свойство фигуры можно принять за её определение.
      Иногда для удобства выделяют два частных случая теорем – следствие и лемму. Следствие – это утверждение, непосредственно вытекающее из теоремы. Лемма – это вспомогательное утверждение, используемое при доказательстве основной теоремы.
      Множество всех неопределяемых понятий и отношений, аксиом и теорем называют аксиоматической теорией. Аксиоматическая теория, построенная на основе девяти приведённых аксиом, называется евклидовой.
 
       Несколько дополнительных сведений по аксиоматическому подходу в геометрии. Система аксиом геометрии подбирается не произвольным образом. К ней предъявляются три основных требования: независимости, непротиворечивости и полноты.
      Система аксиом называется независимой, если ни одну из аксиом нельзя вывести как теорему из других аксиом (тогда данная аксиома была бы лишней).
      Система аксиом называется непротиворечивой, если из неё нельзя вывести две теоремы, которые противоречат друг другу.
      Систему аксиом называют полной, если какое бы утверждение о свойстве той или иной геометрической фигуры мы ни сформулировали, всегда можно установить – истинно оно или ложно.
      Приведённая выше система аксиом евклидовой геометрии удовлетворяет всем трём требованиям (доказано А. В. Погореловым).
      Помимо евклидовой существуют и другие аксиоматические теории (неевклидовы геометрии). Например, если девятую аксиому евклидовой геометрии заменить на её отрицание («Через точку, не лежащую на прямой, можно провести более одной прямой, параллельной данной»), а остальные оставить без изменения, получим планиметрию Лобачевского. Тогда будут доказаны неожиданные для нас утверждения: «Сумма углов в треугольнике меньше двух прямых», «существуют треугольники, около которых нельзя описать окружность», «не существует подобных треугольников» и многие другие.
      Изменяя систему аксиом, а также меняя неопределяемые понятия и отношения, мы будем получать другие неевклидовы геометрии (сферическую, эллиптическую и так далее).
      Помимо аксиоматического, в геометрии широко распространён аналитический подход. Его суть состоит в том, что на плоскости вводится система координат и каждой точке ставится в соответствие пара чисел (х; у) – её координаты. Благодаря этому удаётся записывать уравнения различных фигур (прямых, окружностей и так далее), изучать их свойства. Введение декартовой прямоугольной системы координат и применение алгебраического аппарата нередко позволяют легче решать многие задачи по геометрии.
      Обобщением (в определённом смысле) аналитического подхода в геометрии является векторный подход. Разница состоит в том, что на плоскости вводится векторная (аффинная) система координат, причём два базисных вектора не обязательно перпендикулярны друг другу и к тому же могут различаться по длине. Введение векторной системы координат также нередко позволяет быстрее и проще решать целый ряд геометрических задач.
      В высшей геометрии весьма распространён групповой подход. Группой называется непустое множество М, на котором определена некоторая операция*, причём выполняются следующие условия:
      1) для любых элементов а, в, с из М(а*в)*с = а*(в*с):
      2) существует элемент е из М, такой, что а*е = е*а = а:
      3) для любого элемента а существует элемент а-1, что а*а-1= а-1*а = е.
      В геометрии можно выделить множество групп, например, группу перемещений, группу преобразования подобия. Самой важной группой в планиметрии является группа перемещений плоскости, так как с её помощью вводится понятие равных фигур. Равные фигуры обладают одинаковыми геометрическими свойствами, которые не изменяются (инвариантны) под действием перемещений. В целом можно сказать, что каждая группа преобразований задаёт свою геометрию, в которой изучаются свойства фигур, инвариантные (неизменяемые) относительно данной группы преобразований.
      Инварианты группы перемещений (и других групп) «невидимо» присутствуют при решении задач методом геометрических преобразований. Так, строя образы фигур при различных видах движений (симметрия, параллельный перенос и так далее), мы получаем равные фигуры, что позволяет в ряде случаев успешно решать сложные задачи.

      1. Что изучает геометрия? (1)
      2. Что означает слово «геометрия» в переводе с греческого языка? (1)
      3. В каких видах человеческой деятельности нужны знания по геометрии и пространственное воображение? Покажите эту значимость в деятельности: а) рабочего; б) инженера; в) архитектора; r) художника; д) Вас лично в решении бытовых задач. (1)
      4. Что изучает планиметрия? Приведите примеры геометрических фигур и их свойств. (1)
      5. Назовите основные (неопределяемые) понятия в планиметрии. (1)
      6. Какие вы знаете неопределяемые отношения в курсе геометрии? (1)
      7. Что значит дать определение геометрической фигуры? (1)
      8. В чем состоит сущность аксиоматического подхода в геометрии? (1)
      9. Что такое аксиома? (1)
      10. Что такое теорема? (1)
      11. Перечислите аксиомы планиметрии. (1)
      12. Что значит доказать теорему? (1)
      13. Из каких частей состоит теорема? (1)
      14. Какая теорема называется: а) обратной; б) противоположной; в) противоположной к обратной? (1)
      15. Даны четыре теоремы: прямая, обратная, противоположная, противоположная к обратной. Какие пары из перечисленных теорем являются эквивалентными? (1–2)
      16. В чем состоит сущность метода доказательства теорем от противного? (1)
      17. Что такое теорема-свойство и теорема-признак? (1)
      18. Что такое характеристическое свойство геометрического объекта (фигуры, тела и т. д.)? Как связаны между собой термины «характеристическое свойство объекта» и «определение объекта»? (1)
      19. Какие требования предъявляются к системе аксиом? (3)
      20. Как вы понимаете следующие высказывания:
      а) система аксиом непротиворечива; (3)
      б) система аксиом независима; (3)
      в) данная система аксиом – полная (3)?
      21. Какая геометрия называется евклидовой? (1)
      22. Какие неевклидовы геометрии вы знаете? (3)
      23. В чем отличие аксиоматики Лобачевского от систем аксиом Евклида? (3)
      24. В чем суть аналитического подхода в геометрии? (2)
      25. Что такое аффинная система координат? (2)
      26. Что такое группа? В чем суть группового подхода в геометрии? (3)
      27. Что такое инвариант? (3)

      1. Высказывания. Операции над высказываниями. Законы математической логики.(2)
      2. Основные факты планиметрии Лобачевского. (3)
      3. Особенности геометрии на сфере. (3)
      4. Методы доказательства теорем (прямое доказательство, от противного, контрпример, метод симметрии и т. д.). (1–2)
      5. Группы преобразований плоскости и их инварианты. (3)
      6. Топологические многообразия в геометрии. (3)

      На экзамене по геометрии очень важно давать правильные (корректные) определения. Часто допускаются такие ошибки, как «порочный круг» (например, круг – это часть плоскости, ограниченной окружностью, а окружность – это граница круга), наличие синонима определяемого термина в определении, пропуск «несущественных деталей» (например, касательная к окружности – это прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, «деталь» – это тот факт, что прямая должна лежать с окружностью в одной плоскости).
      Определения геометрических фигур можно дать различными способами:
      1. Через род и видовое отличие.
      Например: квадрат – это прямоугольник с равными сторонами. Прямоугольник в определении – ближайший род, равенство сторон – видовое отличие.
      2. Генетически (указание происхождения понятия).
      Например, окружность – это множество точек плоскости, находящихся на равном расстоянии от данной точки, лежащей в этой плоскости.
      3. Через указание свойств фигуры (дескрипции).
      Пример: число ? – это то число, которое, будучи умножено на длину диаметра, даёт длину его окружности.
      4. Конструктивно (указывается способ построения объекта).
      Пример: пусть дана произвольная окружность. Разделим её на n равных частей последовательно расположенными точками А1, А2..., Ап. Замкнутая ломаная A1A2...АnА1 образует правильный n-угольник.
      5. Аксиоматически.
      К примеру, определение площади фигуры F даётся как числовая функция S(F), удовлетворяющая определённым условиям (аксиомам).
      Другие способы дачи определений в геометрии встречаются крайне редко.
 
      Перейдём к определениям.
      Неопределяемыми геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.
      Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С, D .... Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, b, с, d ....
      Точка А лежит на прямой а, точка В лежит на прямой b, точка О принадлежит одновременно прямым а и b, т. е. является точкой пересечения этих прямых (рис. 1).
      Рис. 1.
 
      Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными её точками. Эти две точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда говорят или пишут: «отрезок АВ», то подразумевают отрезок с концами в точках А и В (рис. 2).
      Рис. 2.
 
      [АВ] – отрезок АВ.
      Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Это разбиение обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.
      Отрезок АВ не пересекает прямую а, отрезок АС пересекает прямую а (рис. 3).
      Рис. 3.
 
      Лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой луча. Различные лучи одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называют дополнительными (рис. 4).
      Рис. 4.
 
      Лучи, так же как и прямые, обозначаются строчными латинскими буквами. Точка А является начальной точкой двух лучей p и q. Лучи p и q являются дополнительными.
      Углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла – и двух различных лучей или отрезков, исходящих из этой точки – сторон угла. Слово «угол» иногда заменяют знаком ? (рис. 5, 6).
      Рис. 5.
      Рис. 6.
 
      На рис. 5 угол ? = ?АОВ образован двумя отрезками ОА и ОВ.
      На рис. 6 угол ? образован двумя лучами р и q, имеющими начальную точку О.
      Если стороны угла являются дополнительными лучами одной прямой, то угол называют развёрнутым (рис. 7).
      Рис. 7.
 
      Угол А является здесь развёрнутым.
      Луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок, соединяющий любые две точки, лежащие на разных сторонах угла.
      Луч q проходит между сторонами ОА и OB угла AOB (рис. 8).
      Рис. 8.
 
      Углы измеряют в градусах и радианах. При этом ? радиан = 180°.
      Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами (рис. 9).
      Рис. 9.
 
      Сумма смежных углов равна 180°.
      Лучи p и q – дополнительные, точка В принадлежит лучу p а точка А принадлежит лучу q. Углы СОА и СОВ – смежные.
      Угол, равный 90°, называется прямым.
      Угол, меньший 90°, называют острым углом. Угол, больший 90° и меньший 180°, называют тупым (рис. 10, а; б; в).
      Рис. 10.
 
      Углы:?АОВ – прямой, ?COD – острый, ?EOF – тупой.
      На рисунках прямые углы часто обозначают знаками ?, ?.
      Два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого (рис. 11).
      Рис. 11.
 
      р и q – дополнительные лучи одной прямой, а m и n – дополнительные лучи другой прямой. Точка О – точка пересечения этих двух прямых и является начальной точкой всех указанных выше лучей.
      Точки А, В, С, D лежат на соответствующих лучах.
      Углы АОВ и COD – вертикальные.
      Две прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Перпендикулярность прямых обозначается знаком ? (рис. 12):
      а ? b.
      Рис. 12.
 
      Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
      Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра (рис. 13):
      АA' – перпендикуляр к прямой a, A' – обоснование перпендикуляра.
      Рис. 13.
 
      Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам (рис. 14).
      Рис. 14.
 
      ОС – биссектриса угла АОВ (?АОС = ?ВОС).
      Пусть две прямые a и b пересечены прямой с.
      Прямая с по отношению к прямым a и b называется секущей (рис. 15).
      Рис. 15.
 
      Углы 3 и 5 (4 и 6) называются внутренними накрест лежащими, углы 3 и 6 (4 и 5) – внутренними односторонними, углы 1 и 6 (2 и 5) – соответственными.
      Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. Для обозначения параллельности прямых используется знак||(рис. 16):
      а||b.
      Рис. 16.
 
      Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами (рис. 17):
      ?ABC.
      Рис. 17.
 
      Углом треугольника ABC при вершине А называется угол, образованный отрезками АВ и АС. Также определяются углы треугольника при вершинах В и С.
      Две фигуры называются равными, если они при наложении друг на друга совпадают (т. е. существует движение, переводящее одну фигуру в другую). Таким образом, треугольники равны, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны (при этом соответствующие углы лежат против соответствующих сторон).
      Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника (рис. 18).
      Рис. 18.
 
      ?ABC – равнобедренный (АВ = ВС – боковые стороны, АС – основание).
      Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (рис. 19).
      Рис. 19.
 
      ? DEF– равносторонний (DE = EF = DF).
      Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника (рис. 20, а; б).
      Рис. 20.
 
      ВН – высота в треугольнике ABC (ВН ? АС).
      Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне (рис. 21).
      Рис. 21.
 
      AL – биссектриса в треугольнике ABC (?BAL = ?CAL).
      Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис. 22).
      Рис. 22.
 
      AM – медиана треугольника ABC (BM = MC).
      Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине (рис. 23).
      Рис. 23.
 
      ? – внешний угол ?ABC при вершине А.
      Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол (рис. 24).
      Рис. 24.
 
      Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.
      ?ABC – прямоугольный (?А = 90°). АВ и АС – катеты, ВС – гипотенуза.
      Треугольник называется остроугольным, если все его углы – острые. Треугольник называется тупоугольным, если у него есть тупой угол.
      ?ABC – остроугольный, ?А < 90° (рис. 25, а);
      ?ABC – тупоугольный, ?А > 90° (рис. 25, б).
      Рис. 25.
 
      Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух любых сторон треугольника (рис. 26).
      Рис. 26.
 
      EF – средняя линия ?ABC (АЕ = ЕВ. CF = FB).
      Египетским называется прямоугольный треугольник, у которого длины сторон выражаются целыми числами (например:3, 4, 5 или 5, 12, 13 и так далее).
      Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки. Эта заданная точка называется центром окружности.
      Расстояние от точек окружности до её центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также отрезок, соединяющий любую точку окружности с её центром (рис. 27).
      Рис. 27.
 
      ОА – радиус окружности.
      Радиусы окружностей часто обозначают буквами R или r, т. е. ОА = R или ОА = r.
      Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью (рис. 28).
      Рис. 28.
 
      Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности (рис. 29).
      Рис. 29.
 
      АВ – диаметр окружности, CD – хорда.
      Диаметры окружностей часто обозначают буквами D или d. Очевидно, что D = 2R или d = 2 r.
      Дуга окружности – это её часть, ограниченная двумя точками окружности (рис. 30).
      Рис. 30.
 
      Точки А и В делят окружность на две дуги:1 и 2.
      Сектор круга – часть круга, ограниченная двумя радиусами и соответствующей дугой (рис. 31).
      Рис. 31.
 
      Радиусы ОА и ОВ разделили круг на два сектора:1 и 2.
      Сегмент круга – это часть круга, ограниченная хордой и соответствующей дугой (рис. 32).
      Рис. 32.
 
      Хорда АВ делит круг на два сегмента:1 и 2.
      Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины (рис. 33).
      Рис. 33.
 
      ОА = ОВ = ОС = R.
      Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром (рис. 34). В связи с этим говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
      а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ (АО = ОВ).
      Рис. 34.
 
      Прямая, проходящая через точку окружности в той же плоскости перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания (рис. 35).