Фурье' коэффицие'нты,коэффициенты
            (*)
      разложения функции f (x), имеющей период 2 T, в ряд Фурье (см. ). Формулы (*) называют формулами Эйлера — Фурье. Непрерывная функция f( x) однозначно определяется своими коэффициентами Фурье. Ф. к. интегрируемой функции f( x) стремятся к нулю при n® Ґ, причём скорость их убывания зависит от дифференциальных свойств функции f( x). Например, если f( x) имеет kнепрерывных производных, то существует такое число с, что | a n| Ј c/n k, | b n| Ј c/n k. Ф. к. связаны с f( x) также следующим неравенством:
      
      (см. ). Ф. к. функции f( x) по любой нормированной ортогональной на отрезке [ а, b] системе функций j 1( x), j 2( x),..., j n ( x),... (см. ) равны
       .

       Фурье' ме'тод,метод решения задач математической физики, основанный на разделении переменных. Предложен для решения задач теории теплопроводности Ж. и в полной общности сформулирован М. В. в 1828. Решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным однородным и краевым условиям, ищется по Ф. м. как суперпозиция решений, удовлетворяющих краевым условиям и представимых в виде произведения функции от пространственных переменных на функцию от времени. Нахождение таких решений связано с разысканием и некоторых дифференциальных операторов и последующим разложением функций начальных условий по найденным собственным функциям. В частности, разложение функций в ряды и интегралы Фурье (см. , ) связано с применением Ф. м. для изучения задач о колебании струны и о теплопроводности стержня. Например, изучение малых колебаний струны длины l, имеющей закрепленные концы, сводиться к решению уравнения  при краевых условиях u(0, t) = u( l, t) = 0 и начальных условиях u( x,0) = f( x); u' t ( x, 0) = F( x); 0 Ј xЈ l. Решения этого уравнения, имеющие вид X( x) T( t) и удовлетворяющие краевым условиям, выражаются формулой:
       .
        Выбирая соответствующим образом коэффициенты A nи B n, можно добиться того, что функция
      
      будет решением поставленной задачи.
        Ряд важных проблем, связанных с применением Ф. м., был решен В. А. .

       Фурье' преобразова'ние(данной функции), функция, выражающаяся через данную функцию f( x) формулой:
       ,     (1)
        Если функция f( x) чётная, то её ф. п. равно
            (2)
      (косинус-преобразование), а если f( x) — нечётная функция, то
            (3)
      (синус-преобразование). Формулы (1), (2) и (3) обратимы, т. е. для чётных функций
       ,     (4)
      а для нечётных функций
       .     (5)
        В общем случае имеет место формула
       .     (6)
        Каждой операции над функциями соответствует операция над их Ф. п., которая во многих случаях проще соответствующей операции над f( x). Например, Ф. п. f'( x) является iug( u). Если
       ,     (7)
      то g( u) = g 1( u) g 2( u). Для f( x+ а) Ф. п. является e iuag( u), а для c 1f 1( x) + c 2f 2( x) —функция c 1g 1( u) + c 2g 2( u).
        Если существует , то интегралы в формулах (1) и (6) сходятся в среднем (см. ), причём
            (8)
      (теорема Планшереля). Формула (8) является обобщением на Ф. п. формулы Парсеваля (см. ) для рядов Фурье (см. ). Физический смысл формулы (8) заключается в равенстве энергии некоторого колебания сумме энергий его гармонических компонент. Отображение F: f( x) ® g( u) является в гильбертовом пространстве функций f( x), — Ґ < x< Ґ, с интегрируемым квадратом. Этот оператор может быть представлен также в виде
       .     (9)
        При некоторых условиях на f( x) справедлива формула Пуассона
       ,
      находящая применение в теории .
        Если функция f( x) достаточно быстро убывает, то её Ф. п. можно определить и при некоторых комплексных значениях u = v+ iw. Например, если существует , а> 0, то Ф. п. определено при | w| < а. Ф. п. при комплексных значениях тесно связано с двусторонним преобразованием Лапласа (см. )
         .
        Оператор Ф. п. может быть расширен на более обширные классы функций, нежели совокупность суммируемых функций [например, для функций f( x) таких, что (1 + | x|) –1 f( x) суммируема, Ф. п. определяется формулой (9)], и даже на некоторые классы (т. н. медленного роста).
        Имеются обобщения Ф. п. Одно из них использует различного рода специальные функции, например , это направление получает завершение в теории представлений . Другим является т. н. преобразование Фурье — Стилтьеса, широко применяемое, например, в теории вероятностей; оно определяется для произвольной ограниченной неубывающей функции j( x)
            (10)
      и называется характеристической функцией распределения j. Для представимости функции g( u) в виде (10) необходимо и достаточно, чтобы при любых u 1,..., u n, x 1,...,x n было
      
      (теорема Бохнера — Хинчина).
        Ф. п., первоначально возникшее в теории теплопроводности, имеет многочисленные применения как в самой математике (например, при решении дифференциальных, разностных и интегральных уравнений, в теории специальных функций и т.д.), так и в различных разделах теоретической физики. Например, Ф. п. стало стандартным аппаратом , широко используется в методе функций Грина для неравновесных задач квантовой механики и термодинамики, в теории рассеяния и т.д.
        Лит.:Снеддон И., Преобразование Фурье, пер. с англ., М., 1955; Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, М., 1976.

       Фурье' ряд, , служащий для разложения периодической функции на гармонические компоненты. Если функция f( x) имеет период 2 T, то её Ф. р. имеет вид
       ,
      где a 0, a n, b n( n&sup3; 1) — . В зависимости от того, в каком смысле понимаются интегралы в формулах для коэффициентов, говорят о рядах Фурье — Римана, Фурье — Лебега и т.д. Обычно рассматривают 2p-периодические функции (общий случай сводится к ним преобразованием независимого переменного).
        Ф. р. представляют собой простейший класс разложений по , а именно — по тригонометрической системе 1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x,..., cos nx, sin nx,..., которая обладает двумя важными свойствами: замкнутостью и полнотой. Частичные суммы Ф. р. (суммы Фурье)
      
      обращают в минимум интеграл
       ,
      где t n( x) — произвольный тригонометрический полином порядка Ј n, а функция f( x) интегрируема с квадратом. При этом
         ,
      так что функции f( x), имеющие интегрируемый квадрат, сколь угодно хорошо аппроксимируются своими суммами Фурье в смысле среднего квадратичного уклонения (см. ).
        Для любой интегрируемой функции f( x) коэффициенты Фурье a n, b nпри n® Ґ стремятся к нулю (Б. Риман, А. Лебег). Если же функция f( x) несобственно интегрируема по Риману, то коэффициенты Фурье могут и не стремиться к нулю (Риман). В случае, если квадрат функции f( x) интегрируем, то ряд  сходится и имеет место равенство Парсеваля
       .
        Один из вариантов этой формулы был впервые указан французским математиком М. Парсевалем (1799), а общая формула (где интеграл понимается в смысле Лебега) доказана Лебегом. Обратно, для любой последовательности действительных чисел a n, b nсо сходящимся рядом  существует функция с интегрируемым по Лебегу квадратом, имеющая эти числа своими коэффициентами Фурье (немецкий математик Э. Фишер, венгерский математик Ф. Рис). Для интегралов в смысле Римана эта теорема неверна.
        Известно большое число признаков сходимости Ф. р., т. е. достаточных условий, гарантирующих сходимость ряда. Например, если функция f( x) имеет на периоде конечное число максимумов и минимумов, то её Ф. р. сходится в каждой точке (П. ). Более общо, если f( x) имеет ограниченное изменение (см. ), то её Ф. р. сходится в каждой точке и притом равномерно на каждом отрезке, внутреннем к отрезку, на котором f( x) непрерывна (К. ). Если f( x) непрерывна и её модуль непрерывности w(d, f) удовлетворяет условию , то её Ф. р. равномерно сходится (итальянский математик У. Дини, 1880).
        Проблема полного исследования условий сходимости Ф. р. оказалась весьма трудной, и в этом направлении до сих пор нет окончательных результатов. Как показал Риман, сходимость или расходимость Ф. р. в некоторой точке x 0зависит от поведения функции f( x) лишь в сколь угодно малой окрестности этой точки (т. н. принцип локализации для Ф. р.). Если в точке x 0функция f( x) имеет разрыв первого рода, т. с. существуют различные пределы f( x 0— 0) и f( x 0+ 0), и Ф. р. этой функции сходится в точке x 0, то он сходится к значению 1/ 2{ f( x 0— 0) + f( x 0+ 0)}. В частности, если Ф. р. непрерывной периодической функции f( x) сходится в каждой точке, то его сумма равна f( x).
        Известно, что существуют непрерывные функции, Ф. р. которых расходятся в бесконечном числе точек (немецкий математик П. дю Буа-Реймон, 1875), и интегрируемые в смысле Лебега функции, Ф. р. которых расходятся в каждой точке (А. Н. , 1926). Однако Ф. р. всякой интегрируемой с квадратом функции сходится почти всюду (Л. Карлесон, 1966). Этот результат верен и для функций из любого пространства L p(—p, p) с p< 1 (Р. Хант, 1968). Упомянутые «дефекты сходимости» породили методы суммирования Ф. р. Вместо того чтобы исследовать поведение сумм Фурье, исследуют средние, образованные из этих сумм, поведение которых в ряде случаев оказывается значительно более правильным. Например, для любой непрерывной периодической функции f( x) сумма Фейера
      
      при n® Ґ равномерно сходятся к f( x) (Л. , 1904).
        Лит.:Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1—2, М., 1965.

       Фурье'(Fourier) Франсуа Мари Шарль (7.4.1772, Безансон, — 10.10.1837, Париж), французский утопический социалист. Родился в купеческой семье, почти всю жизнь служил в торговых домах. Окончил среднюю школу, затем пополнял знания путём самообразования. На мировоззрении Ф. отразилось его глубокое разочарование в результатах Великой французской революции.
        Свои исторические и социальные взгляды Ф. впервые изложил в статье «Всемирная гармония» (1803), анонимной брошюре «О торговом шарлатанстве» (1807) и книге «Теория четырех движений и всеобщих судеб» (1808, рус. пер. 1938). Подробный план организации общества будущего Ф. разработал в «Трактате о домоводческо-земледельческой ассоциации» (т. 1—2, 1822), переизданном посмертно в 1-м французском собрании сочинений, т. 2—5, 1841—43, под заглавием «Теория всемирного единства» и в книге «Новый хозяйственный социетарный мир» (1829, рус. пер, 1939).
        Ф. отвергал социальную философию и экономические учения , считая, что они противоречат опыту и оправдывают негодный общественный строй. Вместе с тем Ф. воспринял и развил ряд идей материалистов 18 в.: признание единства мироздания как извечно существующей и закономерно движущейся материи во всём многообразии её форм и видов движения; определение исторического процесса как движения, направленного на обеспечение всеобщего благополучия, и др. Задачу своей жизни Ф. видел в разработке «социальной науки» как части «теории всемирного единства», основанной на принципе «притяжения по страсти», всеобщей закономерности, обусловливающей природную склонность человека к какому-либо виду коллективного труда. Ф. разработал оригинальную схему истории человечества. Общество последовательно проходит периоды эдемизма («райской» первобытности), дикости, варварства и цивилизации. Особое внимание Ф. уделил анализу и критике современного периода («периода цивилизации»); он вскрыл его внутренние противоречия (кризисы от избытка, бедность, порождаемую изобилием, и др.). На смену строю цивилизации, по Ф., должен прийти высший общественный строй — строй гармонии, который не только соответствует предначертаниям бога-природы, но представляется как историческая необходимость.
        В системе Ф. сохранялись частная собственность, классы и нетрудовой доход. Для успеха нового общества, считал Ф., необходим рост производительности труда, обеспечивающий богатство для всех, для чего общественный доход должен распределяться соответственно: капиталу ( 4/ 12), труду ( 5/ 12) и таланту 3/ 12). С укреплением и развитием строя ассоциации эти пропорции, как предполагал Ф., будут изменяться в пользу труда. Строй ассоциации создаёт, по Ф., крупное коллективизированное и механизированное сельское хозяйство, соединённое с промышленным производством. Это соединение произойдёт в первичных ячейках общества — «фалангах», располагающихся в огромных дворцах — «фаланстерах». Такая организация общества приведёт к ликвидации разрыва между городом и деревней, к созданию поселений нового типа, где объединятся все виды человеческой деятельности и преимущества городской и сельской жизни.
        Согласно Ф., естественные страсти человека, подавляемые и искажаемые при строе цивилизации, будут направлены на творческий труд, полный разнообразия и радостного соревнования. Разумно организованные могучие трудовые армии — региональные, национальные и международные — преобразуют лик Земли. В новых условиях общественной жизни будет формироваться и новый человек как целостная, всесторонне развитая личность.
        В учении Ф. было немало идей и концепций, которые позднее получили развитие не только в философии, социологии и экономической науке, но и в таких специальных отраслях, как социальная психология, психология труда, педагогика. Для учения Ф. характерны элементы материализма и диалектики. Вместе с тем его учению свойственны идеалистическое понимание истории, методологическая непоследовательность, беспочвенные мечтания. Мировоззрение Ф. несёт на себе отпечаток мелкобуржуазности: идеальный «строй гармонии» был далёк от экономических требований крупного общественного производства.
        По определению К. Маркса и Ф. Энгельса, «Фурье исходит непосредственно из учения французских материалистов» (Соч., 2 изд., т. 2, с. 146) и «... так же мастерски владеет диалектикой, как и его современник Гегель» (Энгельс Ф., там же, т. 19, с. 197). Маркс и Энгельс, указывая, что Ф. блестяще разработал ряд проблем будущего общества, вместе с тем критиковали его за отказ от классовой, революционной и всякой вообще политической борьбы, за сохранение в строе ассоциации основных элементов капиталистических общественных отношений, надежду на содействие лучших представителей господствующих классов делу разумного переустройства общества. Маркс и Энгельс признавали Ф. наряду с К. А. и Р. одним из тех мыслителей, которые «... гениально предвосхитили бесчисленное множество таких истин, правильность которых мы доказываем теперь научно...» (Энгельс Ф., там же, т. 18, с. 499).
        Учение Ф. оказало значительное влияние на социальную и философскую мысль ряда стран. Во Франции учение Ф. развивали «социетарная школа» В. и группа др. фурьеристов. Фурьеристы пытались создать опытный фаланстер и «социальную партию», но на практике неизменно оказывались бессильными и потерпели крах в ходе Революции 1848. Идеи Ф. получили отражение во французской художественной литературе (Э. Сю, Ф. Пиа, П. Ж. Беранже, Э. Потье и др.) и оказали воздействие на развитие французского утопического социализма (К. Пеккёр, Ф. Видаль, П. А. Леру, П. Ж. Прудон). В 30—40-х гг. влияние идей Ф. испытала ранняя социалистическая мысль в Англии (Хью Дохерти и др.), Германии (В. Вейтлинг, М. Гесс и др.), Италии (Б. Дж. Муре, С. Савини), Испании, где фурьеристы были также первыми проводниками социалистических идей (Х. С. Абреу и др.), и в др. странах Европы. В Северной Америке влияние Ф. на развитие прогрессивных социальных идей было столь значительным, что 30—40-е гг. 19 в. называют «фурьеристским периодом» истории социализма в Америке (А. Брисбен, П. Годвин, Х. Грили и др.). Было создано более 40 фурьеристских колоний (Брукфарм и др.).
        В России идеи Ф. уже в 1-й четверти 19 в. стали известны некоторым из декабристов и близким к ним представителям интеллигенции. В 30—40-х гг. учением Ф. интересовались А. И. Герцен, Н. П. Огарев. Выдающимися приверженцами Ф. были М. В. Петрашевский и . Идеи Ф. отразились в произведениях Ф. М. Достоевского, М. Е. Салтыкова-Щедрина, Н. Г. Чернышевского и др. (см. также ст. ).
        Соч.: CEuvres complиtes, v. 1—6, P., 1841—1870; CEuvres complиtes, v. 1—11, P., 1966—67; в рус. пер. — Избр. соч., т. 1—4, М. — Л., 1951—54.
        Лит.:Бебель А., Ш. Фурье, пер. с нем., М., 1923; Дворцов А. Т., Шарль Фурье. Его жизнь и учение, М., 1938; Иоаннисян А. Р., Шарль Фурье, М., 1958; Зильберфарб И. И., Социальная философия Шарля Фурье и её место в истории социалистической мысли первой половины XIX в., М., 1964 (лит.); Armand F., Fourier, v. 1—2, P., 1937.
         И. И. Зильберфарб.
      Ш. Фурье.

       Фурье' число',один из нестационарных тепловых процессов. Характеризует соотношение между скоростью изменения тепловых условий в окружающей среде и скоростью перестройки поля температуры внутри рассматриваемой системы (тела), который зависит от размеров тела и коэффициент его температуропроводности. Ф. ч. обозначают F 0и определяют формулой Fo= at 0/l 2, где а= l /r c— коэффициент температуропроводности, l — коэффициент , r — плотность, с— удельная теплоёмкость, l— характерный линейный размер тела, t 0— характерное время изменения внешних условий. Поскольку критерии, устанавливающие связь между скоростями развития различных эффектов, называются критериями гомохронности, Ф. ч. является критерием гомохронности тепловых процессов. Для тепловых процессов, описываемых , безразмерное распределение температуры в теле представляется в виде функции от безразмерных геометрических и тепловых критериев подобия, одним из которых является Ф. ч. Название по имени Ж. .
         С. Л. Вишневецкий.

       Фурье'-спектроскопи'я,фурье-спектрометрия, метод оптической, в котором получение спектров происходит в 2 приёма: сначала регистрируется т. н. интерферограмма исследуемого излучения, а затем путём её вычисляется спектр.
        В Ф.-с. интерферограммы получают с помощью Майкельсона, который настраивается на получение в плоскости выходной диафрагмы (см. рис. 1 в ст. ) интерференционных колец равного наклона (см. ). При поступательном перемещении одного из зеркал интерферометра изменяется разность хода D лучей в плечах интерферометра. В процессе изменения D исследуемое излучение модулируется, причём частота модуляции fзависит от скорости vизменения D и длины волны излучения l (волнового числа n = 1/l). При D = kl( k= 0, 1, 2,...) имеют место максимумы интенсивности излучения, при D = kl/2 — её минимумы. Если v= const, то f= v/l = vn, т. е. каждая длина волны исследуемого излучения кодируется определённой f.
        Сигнал на приёмнике (интерферограмма) представляет собой совокупность синусоидальных цугов (см. рис. ). Каждому спектру соответствует своя интерферограмма. В некоторых случаях спектр может быть определён по ней непосредственно, однако в большинстве случаев для преобразования интерферограммы в спектр необходимо произвести её . Для этого она записывается в виде ряда (массива) цифр, соответствующих дискретным значениям интенсивности излучения при изменении разности хода от 0 до D макс(или от —D максдо +D макс) через равные интервалы. Такой массив, имеющий в разных приборах от 10 2до 10 6значений, вводится в память ЭВМ, которая путём преобразования Фурье вычисляет спектр в течение времени от нескольких секдо нескольких чв зависимости от сложности спектра и числа значений в массиве.
        Комплекс аппаратуры, выполняющий эти операции, называется фурье-спектрометром (ФС); в него, как правило, кроме двухлучевого интерферометра, входят осветитель, приёмник излучения, система отсчёта D, усилитель, аналогово-цифровой преобразователь и ЭВМ (встроенная в прибор или установленная в вычислительном центре). Сложность получения спектров на ФС перекрывается его преимуществами над др. . Так, с помощью ФС можно регистрировать одновременно весь спектр. Благодаря тому, что в интерферометре допустимо входное отверстие больших размеров, чем щель спектральных приборов с диспергирующим элементом такого же разрешения, ФС по сравнению с ними имеют выигрыш в светосиле. Это позволяет уменьшить время регистрации спектров, уменьшить отношение сигнал — шум и повысить разрешение, уменьшить габариты прибора. Наличие ЭВМ в приборе позволяет, кроме вычисления спектра, производить др. операции по обработке полученного экспериментального материала, осуществлять управление и контроль за работой самого прибора.
        Наибольшее применение Ф.-с. нашла в тех исследованиях, где др. методы малоэффективны или вовсе неприменимы (в основном, в ИК-области спектра). Например, спектры в ближней ИК-области некоторых планет были зарегистрированы в течение нескольких ч, а для регистрации их спектральным прибором с диспергирующим элементом потребовалось бы несколько месяцев. Малогабаритные ФС были использованы при исследовании из космоса околоземного пространства и земной поверхности в средней ИК-области. Лабораторные ФС для дальней ИК-области нашли применение в химии. Построены также фурье-спектрофотометры (см. ) для всей ИК-области спектра.
        Лит.:Белл Р. Дж., Введение в фурье-спектроскопию, пер. с англ., М., 1975; Инфракрасная спектроскопия высокого разрешения. Сб., пер. с франц. и англ., М., 1972; Мерц Л., Интегральные преобразования в оптике, пер. с англ., М., 1969.
         Б. А. Киселев.
      Интерферограммы, соответствующие: a — спектральной линии, б — спектральному дублету, в — спектральной полосе.

       Фуси'нь,город на С.-В. Китая, в провинции Ляонин. Свыше 350 тыс. жителей (1962). Один из центров угледобывающей промышленности; ТЭС. В Ф. — химическая промышленность (в т. ч. производство искусственного жидкого топлива), машиностроение (оборудование для горнодобывающей промышленности и тракторостроения), текстильная и пищевая промышленность. Ж. д. связан с портом Хулудао и Шэньяном.

       Фусс(Fuss) Николай Иванович (29.1.1755, Базель, — 23.12.1825, Петербург), русский математик. В 1773 по приглашению Л. переехал в Россию. С 1776 адъюнкт, с 1783 ординарный академик Петербургской АН; с 1800 непременный секретарь академии. Большинство его исследований находится в тесной связи с работами Эйлера. Они относятся к различным областям математики, механики, астрономии и геодезии. Ф. — автор ряда учебных руководств («Начальные основания чистой математики», ч. 1—3, 1810—12, и др.), которые сыграли заметную роль в развитии математического образования в России. Ф. не понял прогрессивного характера учебника Н. И. Лобачевского «Геометрия» (1823, опубликована 1909), на рукопись которого он дал в 1825 резко отрицательный отзыв.

       ФуссПавел Николаевич (21.5.1798, Петербург, — 10.1.1855, там же), русский математик, член Петербургской АН (1823, адъюнкт с 1818). Сын Н. И. . Был непременным секретарём академии (с 1826). Опубликовал переписку Л. Эйлера с Х. Гольдбахом и Д. Бернулли, а также библиографию сочинений Эйлера.

       Фу'стик,зеленовато- или красновато-жёлтая хорошо полирующаяся древесина одного из видов (семейство сумаховых), а также бразильского жёлтого дерева Chlorophora tinctoria семейства тутовых. Иногда называют также .

       Фут(английское foot, буквально — ступня), 1) единица длины русской системы мер, отмененной в 1918. 1Ф. = 1/ 7 = 12 =0,3048 м. 2) Единица длины в системе . 1 Ф. = 1/ 3 = 12 = 0,3048 м.

       Фу'та-Джалло'н(Fouta-Djallon), система ступенчатых плато в Западной Африке. Высоты от 300—400 му побережья Атлантического океана до 800—1000 мв центральной части Ф.-Д.; отдельные массивы достигают высоты 1400—1500 м(гора Тамге, 1537 м). Плато сложены преимущественно песчаниками и аргиллитами, прорванными базальтами, долеритами, габбро. На Ф.-Д. выпадает до 1500 ммосадков в год. Отсюда берут начало многие реки Западной Африки — Гамбия, верхнее течение р. Сенегал — Бафинг, притоки верхнего Нигера и др. (местные жителей называют Ф.-Д. «отцом вод»), которые текут в глубоких долинах и расчленяют плато на отдельные части. Произраставшие в прошлом вечнозелёные влажно-экваториальные леса на красных и красно-жёлтых ферраллитных почвах повсеместно вырублены. Развито земледелие (просо, рис и др.) и скотоводство.

       Футбо'л(англ. football, от foot — нога и ball — мяч), спортивная командная игра, в которой спортсмены, используя индивидуальное ведение и передачи мяча партнёрам ногами или любой др. частью тела, кроме рук, стараются забить его в ворота соперника наибольшее количество раз в установленное время. В команде 11 чел., в том числе вратарь. Игровая специально размеченная прямоугольная площадка — поле (110—100 ґ 75—69 м— для официальных матчей) имеет обычно травяной покров. Длина окружности мяча по диаметральному сечению 680—710 мм, масса 396—453 г. Время игры 90 мин(2 периода-тайма по 45 минс 10—15-минутным перерывом). В отличие от др. игр с мячом прикасаться к нему руками разрешается только вратарю (в пределах штрафной площадки), остальным игрокам — при вбрасывании мяча в игру из-за боковой линии. Существенно влияет на тактику Ф. правило «положение вне игры» — спортсмен, находящийся на половине поля соперника, имеет право принимать мяч от партнёра при условии, что между ними и линией ворот находится не менее двух игроков противника, включая вратаря. За нарушение правил назначаются штрафные удары по свободно лежащему мячу (при отдалении от него игроков команды-соперника не менее чем на 9 м); за нарушение в штрафной площади — 11-метровый удар (пенальти) по воротам, защищаемым только вратарём, стоящим на их линии. Регламент некоторых соревнований по Ф. предусматривает при ничейном результате встречи дополнительное время или серии пенальти для выявления победителей; для матчей детей и молодёжи — сокращение времени игры и размеров поля.
        Истоки современного Ф. — различные игры с мячом в странах Древнего Востока, в Древней Греции, Древнем Риме и др.