Математическое ожидание

Таким образом, вам лучше не торговать, пока не будет убедительных доказательств того, что рыночная система, по которой вы собираетесь торговать, прибыльна, т. е. пока вы не будете уверены, что рыночная система имеет положительное математическое ожидание.

Математическое ожидание является суммой, которую вы можете заработать или проиграть в среднем по каждой ставке. На языке азартных игроков это иногда называется «преимуществом игрока» (если оно положительно для игрока) или «преимуществом казино» (если оно отрицательно для игрока):

где Р – вероятность выигрыша или проигрыша;

A – выигранная или проигранная сумма;

N – количество возможных результатов.

Математическое ожидание – это сумма произведений каждого возможного выигрыша или проигрыша и вероятности такого выигрыша или проигрыша.

Давайте рассмотрим математическое ожидание игры, где у вас есть 50 % шансов выиграть 2 долл. и 50 % шансов проиграть 1 долл.:

Математическое ожидание = (0,5 * 2) + (0,5 * (–1)) = 1 + (–0,5) = 0,5.

В таком случае ваше математическое ожидание – выигрыш 50 центов в среднем за бросок.

Рассмотрим ставку на один номер в рулетке. В этом случае ваше математическое ожидание (МО) составит:

МО = ((1 / 38) * 35) + ((37 / 38) * (–1)) = (0,02631578947 * 35) + (0,9736842105 * (–1)) = (0,9210526315) + (–0,9736842105) = –0,05263157903.

Если вы поставите 1 долл. на номер в рулетке (американский двойной ноль), то можете ожидать проигрыш в среднем 5,26 цента на один круг. Если вы поставите 5 долл., то можете ожидать проигрыш в среднем 26,3 цента на один круг. Отметьте, что различные ставки имеют различное математическое ожидание в денежном выражении, но в процентном отношении от ставки оно всегда одинаково. Ожидание серии ставок является суммой значений ожиданий отдельных ставок. Поэтому если при игре в рулетку вы ставите 1 долл. на число, затем 10 долл. на число, затем 5 долл. на число, то вашим общим ожиданием будет:

МО = (–0,0526 * 1) + (–0,0526 * 10) + (–0,0526 * 5) = –0,0526 – 0,526 – 0,263 = –0,8416.

Таким образом, следует ожидать проигрыш 84,16 цента.

Этот принцип объясняет, почему системы, в которых пытаются изменить размер ставок в зависимости от того, сколько проигрышей или выигрышей было (допуская процесс независимых испытаний), считаются проигрышными. Сумма отрицательных ожиданий по ставкам всегда является отрицательным ожиданием!

В отношении управления капиталом очень важно понимать, что при игре с отрицательным ожиданием нет схемы управления деньгами, которая может сделать вас победителем. Если вы продолжаете играть, то независимо от способа управления деньгами вы проиграете весь ваш счет, каким бы большим он ни был в начале.

Эта аксиома верна не только для игры с отрицательным ожиданием, она истинна также для игры с равными шансами. Поэтому единственный случай, когда у вас есть шанс выиграть в долгосрочной перспективе, – это игра с положительным математическим ожиданием. Кроме того, вы можете выиграть только в двух случаях. Во-первых, при использовании ставки одинакового размера, во-вторых, используя ставки при f, меньшем значения f, соответствующего точке, в которой среднее геометрическое HPR становится равным или меньшим 1.

Эта аксиома истинна только при отсутствии верхнего поглощающего барьера. Например, азартный игрок, который начинает со 100 долл., прекращает играть, если его счет вырастает до 101 долл. Эта верхняя цель (101 долл.) называется поглощающим барьером. Допустим, игрок всегда ставит 1 долл. на красный цвет рулетки. Таким образом, у него небольшое отрицательное математическое ожидание. У игрока больше шансов увидеть, как его счет вырастет до 101 долл., и он должен будет прекратить играть, чем увидеть, как его счет уменьшится до нуля и он будет вынужден прекратить играть. Если он будет повторять этот процесс снова и снова, то окажется в отрицательном математическом ожидании. Если сыграть в такую игру только раз, то аксиома неизбежного банкротства, конечно же, неприменима. Различие между отрицательным и положительным ожиданием – это различие между жизнью и смертью. Не имеет значения, насколько положительное или насколько отрицательное ожидание; важно лишь то, положительное оно или отрицательное. Поэтому до рассмотрения вопросов управления капиталом вы должны найти игру с положительным ожиданием.

Если у вас такой игры нет, тогда никакое управление деньгами в мире не спасет вас[2]. С другой стороны, если у вас есть положительное ожидание, то можно посредством правильного управления деньгами превратить его в функцию экспоненциального роста. Не имеет значения, насколько мало это положительное ожидание! Другими словами, не имеет значения, насколько прибыльна торговая система на основе 1 контракта. Если у вас есть система, которая выигрывает 10 долл. на контракт в одной сделке (после вычета комиссионных и проскальзывания), можно использовать методы управления капиталом таким образом, чтобы сделать ее более прибыльной, чем систему, которая показывает среднюю прибыль 1000 долл. за сделку (после вычета комиссионных и проскальзывания). Имеет значение не то, насколько прибыльна была ваша система, а то, насколько определенно можно сказать, что система покажет хотя бы минимальную прибыль в будущем. Поэтому наиболее важное приготовление, которое может сделать трейдер, – это убедиться в том, что система покажет положительное математическое ожидание в будущем.

Для того чтобы иметь положительное математическое ожидание в будущем, очень важно не ограничивать степени свободы вашей системы. Это достигается не только упразднением или уменьшением количества параметров, подлежащих оптимизации, но и путем сокращения как можно большего количества правил системы. Каждый параметр, который вы добавляете, каждое правило, которое вы вносите, каждое мельчайшее изменение, которое вы делаете в системе, сокращает число степеней свободы. В идеале вам нужно построить достаточно примитивную и простую систему, которая постоянно будет приносить небольшую прибыль почти на любом рынке. И снова важно, чтобы вы поняли: не имеет значения, насколько прибыльна система, пока она прибыльна. Деньги, которые вы заработаете в торговле, будут заработаны посредством эффективного управления деньгами. Торговая система – это просто средство, которое дает вам положительное математическое ожидание, чтобы можно было использовать управление деньгами. Системы, которые работают (по крайней мере показывают минимальную прибыль) только на одном или нескольких рынках или имеют различные правила или параметры для разных рынков, вероятнее всего, не будут работать в режиме реального времени достаточно долго. Проблема большинства технически ориентированных трейдеров состоит в том, что они тратят слишком много времени и усилий на оптимизацию различных правил и значений параметров торговой системы. Это дает совершенно противоположные результаты. Вместо того чтобы тратить силы и компьютерное время на увеличение прибылей торговой системы, направьте энергию на увеличение уровня надежности получения минимальной прибыли.

Реинвестировать торговые прибыли или нет

Давайте назовем следующую систему системой A. Она состоит из двух сделок: первая выигрывает 50 %, вторая проигрывает 40 %. Если мы не реинвестируем прибыль, то выигрываем 10 %, если реинвестируем, та же последовательность сделок дает проигрыш 10 %.

Теперь давайте посмотрим на систему B (выигрыш 15 % и проигрыш 5 %), которая так же, как и система A, приносит 10 % за две сделки при отсутствии реинвестирования. Но посмотрите на результаты системы B при реинвестировании: в отличие от системы A она зарабатывает деньги.

Важно понимать, что при торговле с реинвестированием выигрышная система может превратиться в проигрышную систему, но не наоборот! Выигрышная система становится проигрышной при торговле с реинвестированием, если доходы недостаточно последовательны.

Изменение порядка или последовательности сделок не влияет на окончательный результат. Это не только верно при отсутствии реинвестирования, но и при реинвестировании (хотя многие ошибочно полагают, что это не так).

Очевидно, что последовательность сделок не влияет на окончательный результат, не важно, используем мы реинвестирование или нет. Одним из плюсов при торговле на основе реинвестирования является то, что проигрыши обычно сглаживаются. Когда система входит в период проигрышей, за каждой проигрышной сделкой следует сделка с меньшим количеством контрактов.

На первый взгляд кажется, что лучше торговать без реинвестирования, так как в этом случае вероятность выигрыша больше. Однако это неправильное утверждение, так как в реальной торговле мы не забираем все прибыли и не покрываем все наши убытки, добавляя средства на счет. Более того, природа инвестирования или торговли основана на смешивании исходных и полученных в результате торговли средств. Если мы не производим этого смешивания (как в случае отсутствия реинвестирования), то не можем надеяться на значительное увеличение капитала в будущем независимо от того, насколько успешна наша торговля. Именно реинвестирование превращает линейную функцию роста счета в геометрическую.

Если система достаточно эффективна, то прибыли, полученные на основе реинвестирования, будут намного больше прибылей, полученных без реинвестирования, и этот разрыв станет увеличиваться с течением времени. Если у вас есть система, которая выигрывает на рынке, то нет смысла торговать в ней любым другим способом, нежели увеличивать сумму ставки при увеличении счета.

Измерение степени пригодности системы для реинвестирования посредством среднего геометрического

До настоящего момента мы видели, как систему можно разрушить благодаря отсутствию стабильности от сделки к сделке. Не означает ли это, что мы должны прекратить торговлю и положить деньги в банк?

Давайте вернемся к системе A и добавим две прибыльных сделки, по 1 пункту каждая.

В системе B добавим две убыточных сделки, по 1 пункту каждая.

Теперь, если мы действительно стремимся к последовательности, рассмотрим банковский депозит – абсолютно стабильный инструмент (по сравнению с торговлей), выплачивающий 1 пункт за определенный период. Назовем эту серию сделок системой C.

Наша цель – максимизировать прибыли при торговле с реинвестированием. С этой точки зрения наша лучшая реинвестиционная последовательность имеет место при использовании системы B. Как выбрать наилучшую систему при наличии информации только о торговле без реинвестирования? По проценту выигрышных сделок? По общей сумме заработка? По средней сделке? Ответом на эти вопросы будет «нет», так как, ответив «да», мы должны торговать по системе A (и именно это решение примет большинство фьючерсных трейдеров). Что если принять решение исходя из наибольшей стабильности (т. е. исходя из наибольшего отношения средняя сделка/стандартное отклонение или самого низкого стандартного отклонения)? Как насчет самого высокого отношения риск/выигрыш или самого низкого проигрыша? Это тоже не поможет нам с правильным ответом. Если мы будем выбирать систему по этим признакам, то лучше положить деньги в банк и забыть о торговле.

Система B обладает хорошим сочетанием прибыльности и стабильности. Системы A и C не обладают этими качествами. Вот почему система B работает лучше всего при торговле с реинвестированием. Каков наилучший способ измерения этого «хорошего сочетания»? Данную проблему можно решить с помощью среднего геометрического. Это просто корень N-й степени из относительного конечного капитала (TWR), где N является количеством периодов (сделок). TWR для этих рассматриваемых трех систем будет следующим:

Так как в каждой такой системе по четыре сделки, то, чтобы получить среднее геометрическое, возьмем корень четвертой степени из TWR:

где N – общее количество сделок;

HPR – прибыль за определенный период (единица плюс уровень дохода; например, HPR = 1,10 означает 10 %-ную прибыль за данный период, ставку или сделку);

TWR – количество долларов на конец серии периодов / ставок / сделок на доллар первоначальной инвестиции.

Далее представлен другой способ выражения этих переменных:

TWR = (Конечное состояние счета) / (Начальное состояние счета). (1.6)

Среднее геометрическое (G) равно вашему фактору роста за игру, или:

G = (Конечное состояние счета / Начальное состояние счета) ^ (1 / Количество игр). (1.7)

Как мы уже сказали, среднее геометрическое – это фактор роста вашего счета за игру. Система с наибольшим средним геометрическим является системой, которая принесет наибольшую прибыль, если торговать на основе реинвестирования доходов. Среднее геометрическое меньше единицы означает, что система будет терять деньги, если вы будете торговать на основе реинвестирования.

Эффективность инвестиций часто оценивается с точки зрения дисперсии доходов. Коэффициенты Шарпа, Трейнора, Дженсена, Вами и др., пытаются соотнести эффективность инвестирования с дисперсией. Среднее геометрическое можно рассматривать как одну из таких величин. Однако в отличие от других коэффициентов среднее геометрическое измеряет эффективность инвестирования по отношению к дисперсии в той же математической форме, в которой задается баланс вашего счета.

Уравнение (1.4) можно прокомментировать следующим образом. Если HPR = 0, то вы полностью выйдете из игры, так как все, что умножается на ноль, равно нулю. Любая крупная проигрышная сделка будет иметь самое неблагоприятное влияние на TWR, так как эта функция мультипликативна, а не аддитивна.

Как лучше всего реинвестировать

До этого момента речь шла о реинвестировании 100 % средств со счета. И хотя нам известно, что для максимизации потенциально прибыльной системы мы должны реинвестировать, использование в каждой сделке 100 % капитала вряд ли разумно.

Рассмотрим игру 50/50 с броском монеты. Предположим, вам платят 2 долл., если вы выигрываете, и вы теряете 1 долл., если проигрываете. Математическое ожидание составляет 0,5. Другими словами, следует ожидать выигрыша 50 центов в среднем за бросок. Это верно для первого броска и для всех последующих бросков при условии, что вы не увеличиваете сумму ставки. Но в процессе независимых испытаний именно это и следует делать. Когда вы выигрываете, то должны увеличивать ставку при каждом броске.

Допустим, вы начинаете игру с 1 долл., выигрываете при первом броске и зарабатываете 2 долл. При следующем броске вы также ставите весь капитал (3 долл.), однако на этот раз проигрываете и теряете 3 долл. Вы проиграли первоначальную сумму в 1 долл. и 2 долл., которые ранее выиграли. Если вы выигрываете при последнем броске, то зарабатываете 6 долл., так как сделали 3 ставки по 1 долл. Дело в том, что если вы используете 100 % счета, то выйдете из игры, как только столкнетесь с проигрышем, что будет неизбежно. Если бы мы могли переиграть предыдущий сценарий и вы делали бы ставки без реинвестирования, то выиграли бы 2 долл. при первой ставке и проиграли 1 долл. при второй. Теперь ваша чистая прибыль 1 долл., а счет равен 2 долл.

Где-то между этими двумя сценариями находится оптимальный выбор ставок при положительном ожидании. Однако сначала мы должны рассмотреть оптимальную стратегию ставок для игры с отрицательным ожиданием. Когда вы знаете, что игра имеет отрицательное математическое ожидание, то лучшей ставкой будет ее отсутствие. Помните, что нет стратегии управления деньгами, которая может превратить проигрышную игру в выигрышную. Однако если вы должны сделать ставку в игре с отрицательным ожиданием, то наилучшей стратегией будет стратегия максимальной смелости. Другими словами, вам надо сделать как можно меньше ставок (в противоположность игре с положительным ожиданием, где следует ставить как можно чаще). Чем больше попыток, тем больше вероятность, что при отрицательном ожидании вы проиграете. Поэтому при отрицательном ожидании меньше возможности для проигрыша, если длина игры укорачивается (т. е. когда число попыток приближается к 1). Если вы играете в игру, где есть шанс 49 % выиграть 1 долл. и 51 % проиграть 1 долл., то лучше всего сделать только одну попытку. Чем больше ставок вы будете делать, тем больше вероятность, что вы проиграете (с вероятностью проигрыша, приближающейся к уверенности, когда игра приближается к бесконечности). Это не означает, что вы достигаете положительного ожидания при одной попытке, но вы по крайней мере минимизируете вероятность проигрыша, делая только одну попытку.

Теперь вернемся к игре с положительным ожиданием. Мы решили в начале этой дискуссии, что в любой сделке количество контрактов, которые открывает трейдер, определяется фактором f (число между 0 и 1), что представляет собой количество контрактов, зависящее как от предполагаемого проигрыша в следующей сделке, так и от общего баланса счета. Если вы знаете, что обладаете преимуществом при N ставках, но не знаете, какие из этих N будут выигрышами (и на какую сумму), а какие из них будут проигрышами (и на какую сумму), то лучше всего на большом отрезке времени рисковать одной и той же долей вашего счета. Этот метод, основанный на использовании фиксированной доли вашего счета, и является лучшей системой ставок. Если в ваших сделках есть зависимость, где выигрыши порождают выигрыши, а проигрыши порождают проигрыши, или наоборот, тогда все равно лучше ставить определенную долю вашего общего счета, но эта доля уже не будет фиксированной. В этом случае доля счета должна отражать действие зависимости (если вы не «отпугнули» зависимость от системы, создав системные правила для ее использования).

Подождите, скажете вы, разве не бесполезны все эти системы ставок? Разве они преодолевают преимущество казино? Они только отдаляют момент полного разорения! Это абсолютная правда для ситуации с отрицательным математическим ожиданием. Когда ожидание положительное, трейдер/азартный игрок стоит перед вопросом, как наилучшим образом использовать это положительное ожидание.

Торговля оптимальной фиксированной долей

Все, о чем мы говорили выше, подготовило основу для этого раздела. Мы теперь знаем, что, перед тем как обсуждать величину ставок на данном рынке или в системе, надо понять, есть ли у вас положительное математическое ожидание. Мы увидели, что так называемая «хорошая система» (когда математическое ожидание имеет положительное значение) фактически может быть не такой уж и хорошей при реинвестировании доходов, если реинвестировать слишком высокий процент выигрышей по отношению к разбросу результатов системы. Если в действительности есть положительное математическое ожидание, каким бы маленьким оно ни было, используйте его с максимальной отдачей. При независимых испытаниях это достигается посредством реинвестирования фиксированной доли вашего общего счета[3].

Как нам найти это оптимальное f? В последние десятилетия азартными игроками использовалось множество систем, самая известная и точная из которых – система ставок Келли – является продолжением математической идеи, выдвинутой в начале 1956 г. Джоном Л. Келли-младшим[4].

Из критерия Келли следует, что мы должны использовать фиксированную долю счета (f), которая максимизирует функцию роста G(f):

G(f) = P * ln(1 + B * f) + (1 – P) * ln(1 – f), (1.8)

где f – оптимальная фиксированная доля;

Р – вероятность выигрышной ставки или сделки;

B – отношение выигранной суммы по выигрышной ставке к проигранной сумме по проигрышной ставке;

ln() – функция натурального логарифма.

Оказывается, что для систем с двумя возможными исходами это оптимальное f можно довольно легко найти с помощью формул Келли.

Формулы Келли

Начиная с конца 1940-х гг. инженеры компании Bell System работали над проблемой передачи данных по международным линиям. Проблема, стоящая перед ними, заключалась в том, что линии были подвержены неизбежному случайному «шуму», который мешал передаче данных. Инженерами компании было предложено несколько довольно оригинальных решений. Как это ни странно, наблюдается явное сходство между проблемой передачи данных и проблемой геометрического роста, которая относится к управлению деньгами в азартных играх (так как обе проблемы являются продуктом случайной среды). Так появилась первая формула Келли.

Первое уравнение выглядит следующим образом:

f = 2 * P – 1, (1.9, а)

или

f = P – Q, (1.9, б)

где f – оптимальная фиксированная доля;

Р – вероятность выигрышной ставки или сделки;

Q – вероятность проигрыша (1 – Р).

Обе формы уравнения (1.9) эквивалентны.

Уравнения (1.9, а) или (1.9, б) для оптимального f дадут правильный ответ при условии, что выигрыши и проигрыши будут одинаковы по величине. В качестве примера рассмотрим следующий поток ставок:

– 1, +1, +1, –1, +1, +1, +1, +1, –1.

Есть 10 ставок, 6 из них выигрышные, отсюда:

f = (0,6 * 2) – 1 = 1,2–1 = 0,2.

Если выигрыши и проигрыши не были бы одинакового размера, то эта формула не дала бы правильного ответа. Примером служит бросок монеты в игре 2:1, где все выигрыши – 2 единицы, а проигрыши – 1 единица. В этом случае формула Келли будет выглядеть следующим образом:

f = ((B + 1) * P – 1) / B, (1.10, а)

где f – оптимальная фиксированная доля;

Р – вероятность выигрышной ставки или сделки;

B – отношение выигранной суммы по выигрышной ставке к проигранной сумме по проигрышной ставке.

В нашем примере с броском монеты в игре 2: 1:

f = ((2 + 1) * 0,5–1) / 2 = (3 * 0,5–1) / 2 = 0,5 / 2 = 0,25.

Эта формула даст правильный ответ для оптимального f при условии, что все выигрыши между собой всегда одинаковы и все проигрыши между собой всегда одинаковы. Если это не так, формула не даст правильного ответа.

Формулы Келли применимы только к результатам, которые имеют распределение Бернулли (распределение с двумя возможными исходами). Торговля, к сожалению, не так проста. Применение формул Келли к иному распределению будет ошибкой и не даст нам оптимального f. Более подробно о распределении Бернулли рассказано в приложении B.

Рассмотрим следующую последовательность ставок/сделок:

+9, +18, +7, +1, +10, –5, –3, –17, –7.

Так как это не распределение Бернулли (выигрыши и проигрыши различны), формула Келли не применима. Однако давайте все равно ее используем и посмотрим, что получится.

Так как 5 из 9 событий прибыльны, то Р = 0,555. Теперь давайте возьмем средние выигрыши и проигрыши и рассчитаем B (именно здесь многие трейдеры ошибаются). Средний выигрыш 9, а средний проигрыш 8, поэтому B = 1,125. Подставляя значения, получим:

f = ((1,125 + 1) * 0,555 – 1) / 1,125 = (2,125 * 0,555 – 1) / 1,125 = (1,179375 – 1) / 1,125 = 0,179375 / 1,125 = 0,159444444.

Таким образом, f = 0,16. Мы увидим ниже, что это не оптимальное f. Оптимальное f для этой последовательности сделок составляет 0,24. Используя формулу, когда выигрыши не имеют одинакового размера и/или проигрыши не имеют одинакового размера, мы делаем ошибку, и формула не дает оптимального f.

Отметьте, что числитель в этой формуле равен математическому ожиданию события с двумя возможными результатами. Поэтому мы можем сказать, что, пока все выигрыши имеют одинаковый размер и все проигрыши имеют одинаковый размер (не важно, будет ли сумма, которую можно выиграть, равна сумме, которую можно проиграть), оптимальное f составляет:

f = (Математическое ожидание) / B, (1.10, б)

где f – оптимальная фиксированная доля;

B – отношение суммы, выигранной по выигрышной ставке, к сумме, проигранной по проигрышной ставке.

Математическое ожидание определяется уравнением (1.3), но, так как мы имеем дело с распределением Бернулли, при использовании уравнения (1.10, б) должны убедиться, что у нас есть два возможных исхода.

Формулу (1.10, а) можно свести к следующей более простой формуле:

f = P – Q / B, (1.10, в)

где f – оптимальная фиксированная доля;

Р – вероятность выигрышной ставки или сделки;

Q – вероятность убытка (1 – Р).

Поиск оптимального f с помощью среднего геометрического

В реальной торговле размеры выигрышей и проигрышей будут постоянно меняться. Поэтому формулы Келли не могут дать нам правильного оптимального f.

Как корректно с математической точки зрения найти оптимальное f, которое позволит нам определить количество контрактов для торговли?

Попытаемся ответить на этот вопрос. Для начала мы должны изменить формулу для поиска HPR, включив в нее f:

HPR = 1 + f * (—Сделка / Наибольший проигрыш), (1.11)

где – Сделка – прибыль или убыток в этой сделке (с противоположным знаком, чтобы убыток стал положительным числом, а прибыль – отрицательным);

Наибольший проигрыш – наибольший убыток за сделку (это всегда отрицательное число).

TWR – это произведение всех HPR, а среднее геометрическое (G) – это корень N-й степени из TWR:

где – Сделка_i – прибыль или убыток по сделке i (с противоположным знаком, чтобы убыток был положительным числом, а прибыль – отрицательным);

Наибольший проигрыш – результат сделки, которая дала наибольший убыток (это всегда отрицательное число);

N – общее количество сделок;

G – среднее геометрическое HPR.