Сумма весов систем в портфеле, превышающая 100%

До настоящего момента мы ограничивали сумму процентных весов 100 %. Однако возможно, что сумма процентных размещений для портфеля, который будет иметь наивысший геометрический рост, превысит 100 %. Рассмотрим, например, две рыночные системы – A и B, которые идентичны во всех отношениях, за тем исключением, что у них отрицательная корреляция (R < 0). Допустим, что оптимальное f в долларах для каждой из этих рыночных систем составляет 5000 долл. Допустим, что оптимальный портфель на основе самого высокого среднего геометрического – это портфель, который размещает 50 % в каждую из двух рыночных систем. Это означает, что вам следует торговать 1 контрактом на каждые 10 000 долл. баланса для рыночной системы A и для системы B. Однако, когда есть отрицательная корреляция, можно показать, что оптимальный рост счета в действительности будет достигнут при торговле 1 контрактом для баланса, меньшего 10 000 долл. для рыночной системы A и/или рыночной системы B. Другими словами, когда есть отрицательная корреляция, сумма процентных весов может превышать 100 %. Более того, возможно, что процентные размещения в рыночные системы могут по отдельности превысить 100 %.

Интересно рассмотреть случай, когда корреляция между двумя рыночными системами приближается к –1,00. В этом случае сумма для финансирования сделок по рыночным системам стремится стать бесконечно малой. Дело в том, что в таком портфеле почти не будет проигрышных дней, так как проигранная в данный день одной рыночной системой сумма возмещается суммой, выигранной другой рыночной системой в тот же день. Поэтому с помощью диверсификации возможно получить оптимальный портфель, который размещает меньшую долю f (в долларах) в данную рыночную систему, чем при торговле только в этой рыночной системе.

С этой целью для каждой рыночной системы вы можете разделить оптимальное f в долларах на количество рыночных систем, в которых работаете. В нашем примере, вместо того чтобы выбрать 5000 долл. в качестве оптимального f, для рыночной системы A нам следует использовать 2500 долл. (разделив 5000 долл., оптимальное f, на 2 – количество рыночных систем, в которых мы собираемся торговать) и таким же образом следует поступить с рыночной системой B. Теперь, когда мы используем данную процедуру для определения оптимального среднего геометрического портфеля, который состоит из 50 % для системы A и 50 % для системы B, это означает, что нам следует торговать 1 контрактом на каждые 5000 долл. на балансе для рыночной системы A ($2500 / 0,5) и для системы B.

В качестве еще одной рыночной системы вы можете использовать систему беспроцентного вклада. Это активы, не приносящие дохода, с HPR = 1,00 каждый день. Допустим, в нашем предыдущем примере оптимальный рост получен при 50 % для системы A и 40 % для системы B. Другими словами, следует торговать 1 контрактом на каждые 5000 долл. на балансе для рыночной системы A и 1 контрактом на каждые 6250 долл. для системы B ($2500 / 0,4). При использовании беспроцентного вклада в качестве другой рыночной системы это была бы одна из комбинаций (оптимальный портфель, который на 10 % в деньгах).

Если ваш портфель, найденный с помощью этой процедуры, не содержит систему беспроцентного вклада в качестве одной из составляющих, тогда вы должны повысить используемый фактор и разделить оптимальные f в долларах, используемые в качестве вводных данных. Возвращаясь к нашему примеру, допустим, мы использовали беспроцентный вклад и две рыночные системы – A и B. Далее предположим, что наш итоговый оптимальный портфель не содержит систему беспроцентного вклада. Пусть оптимальный портфель оказался на 60 % в рыночной системе A, на 40 % в рыночной системе B (возможна любая другая процентная комбинация, веса которой в сумме дают 100 %) и на 0 % в системе беспроцентного вклада. Если бы мы разделили наши оптимальные f в долларах на 2, то этого было бы недостаточно. Мы должны разделить их на число больше 2. Итак, мы вернемся и разделим наши оптимальные f в долларах на 3 или 4, пока не получим оптимальный портфель, который включает систему беспроцентного вклада. Конечно, в реальной жизни это не означает, что мы должны размещать какую-либо часть нашего торгового капитала в беспроцентные вклады. Беспроцентные активы стоит использовать для того, чтобы определить оптимальную сумму средств на 1 контракт в каждой рыночной системе при сравнении нескольких рыночных систем.

Вы должны знать, что сумма процентных весов портфеля, при которых достигался наибольший геометрический рост в прошлом, может быть выше 100 %. Этого можно достичь, разделив оптимальное f в долларах для каждой рыночной системы на некое целое число (которое обычно является числом рыночных систем), включив беспроцентный вклад (т. е. рыночную систему с HPR = 1,00 каждый день) в качестве еще одной рыночной системы. Корреляции различных рыночных систем могут оказать серьезное воздействие на портфель. Важно понимать, что портфель может быть больше, чем сумма его частей (если корреляции его составляющих частей достаточно низки). Также возможно, что портфель будет меньше, чем сумма его частей (если корреляции слишком высоки).

Рассмотрим снова игру с броском монеты, где вы выигрываете 2 долл., когда выпадает лицевая сторона, и проигрываете 1 долл., когда выпадает обратная сторона. Каждый бросок имеет математическое ожидание (арифметическое) 50 центов. Оптимальное f составляет 0,25, т. е. надо ставить 1 долл. на каждые 4 долл. на счете, а среднее геометрическое составляет 1,0607. Теперь рассмотрим вторую игру, где сумма, которую вы можете выиграть при броске монеты, составляет 0,90 долл., а сумма, которую вы можете проиграть, – 1,10 долл. Такая игра имеет отрицательное математическое ожидание –0,10 долл., таким образом, здесь нет оптимального f и, соответственно, нет и среднего геометрического.

Посмотрим, что произойдет, когда мы будем играть в обе игры одновременно. Если корреляция этих игр равна 1,0 (т. е. мы выигрываем при выпадении лицевой стороны, а монета всегда падает либо на лицевую, либо на обратную сторону), тогда результаты были бы следующими: мы выигрываем 2,90 долл. при выпадении лицевой стороны или проигрываем 2,10 долл. при выпадении обратной. Такая игра имеет математическое ожидание 0,40 долл., оптимальное f = 0,14 и среднее геометрическое 1,013. Очевидно, что это худший подход к торговле с положительным математическим ожиданием.

Теперь допустим, что игры имеют отрицательную корреляцию, т. е., когда монета в игре с положительным математическим ожиданием выпадает на лицевую сторону, мы теряем 1,10 долл., и наоборот. Таким образом, результатом двух игр будет выигрыш 0,90 долл. в одном случае и проигрыш –0,10 долл. – в другом. Математическое ожидание все еще 0,40 долл., однако оптимальное f = 0,44, что дает среднее геометрическое 1,67. Вспомните, что среднее геометрическое является фактором роста вашего счета в среднем за одну игру. Это означает, что в такой игре в среднем можно ожидать выигрыш в 10 раз больший, чем в уже рассмотренной одиночной игре с положительным математическим ожиданием. Однако этот результат получен с помощью игры с положительным математическим ожиданием и ее комбинирования с игрой с отрицательным ожиданием. Причина большой разницы в результатах возникает из-за отрицательной корреляции между двумя рыночными системами. Мы рассмотрели пример, когда портфель больше, чем сумма его частей.

Важно помнить, что исторически ваш проигрыш может быть такой же большой, как и процент f (в смысле возможного уменьшения баланса). В действительности вам следует ожидать, что в будущем он будет выше, чем данное значение. Это означает, что комбинация двух рыночных систем, даже если они имеют отрицательную корреляцию, может привести к уменьшению баланса на 44 %. Это больше, чем в системе с положительным математическим ожиданием, в которой оптимальное f = 0,25, и поэтому максимальный исторический проигрыш уменьшит баланс только на 25 %. Мораль такова: диверсификация, если она произведена правильно, является методом, который повышает прибыли. Она не обязательно уменьшает проигрыши худшего случая, что абсолютно противоречит популярному представлению.

Диверсификация смягчает многие мелкие проигрыши, но она не уменьшает проигрыши худшего случая. При оптимальном f максимальные проигрыши могут быть существенно больше, чем думают многие. Поэтому, даже если вы хорошо диверсифицировали портфель, следует быть готовым к значительному уменьшению баланса.

Однако давайте вернемся и посмотрим на результаты, когда коэффициент корреляции между двумя играми равен 0. В такой ситуации, какими бы ни были результаты одного броска, они не влияют на результаты другого броска. Таким образом, есть четыре возможных результата.

Математическое ожидание равно:

МО = 2,9 * 0,25 + 0,9 * 0,25 – 0,1 * 0,25 – 2,1 * 0,25 = 0,725 + 0,225 – 0,025 – 0,525 = = 0,4.

Математическое ожидание равно 0,40 долл. Оптимальное f в этой последовательности составляет 0,26, или 1 ставка на каждые 8,08 долл. на балансе счета (так как наибольший проигрыш здесь равен –2,10 долл.). Таким образом, максимальный исторический проигрыш может быть 26 % (примерно такой же, что и в простой игре с положительным математическим ожиданием). Однако в этом примере происходит сглаживание уменьшений баланса. Если бы мы просто рассматривали игру с положительным ожиданием, то третья последовательность принесла бы нам максимальный проигрыш. Так как мы комбинируем две системы, третья последовательность более ровная. Это – единственный плюс. Среднее геометрическое здесь равно 1,025, т. е. скорость роста в два раза меньше, чем при простой игре с положительным математическим ожиданием. Мы делаем 4 ставки (когда могли бы сделать только 2 ставки в простой игре с положительным ожиданием), а больше не зарабатываем:

1,0607 ^ 2 = 1,12508449,

1,025 ^ 4 = 1,103812891.

Очевидно, что при диверсификации вы должны использовать такие рыночные системы, которые имеют самую низкую корреляцию прибылей друг к другу и желательно отрицательную. Вы должны понимать, что уменьшение баланса худшего случая едва ли будет смягчено диверсификацией, хотя вы сможете смягчать многие более слабые уменьшения баланса. Наибольшая польза диверсификации состоит в улучшении среднего геометрического. Метод поиска оптимального портфеля путем рассмотрения чистых дневных HPR упраздняет необходимость смотреть за тем, сколько сделок в каждой рыночной системе произошло. Использование этого метода позволит вам наблюдать только за средним геометрическим независимо от частоты сделок. Таким образом, среднее геометрическое становится единственной статистической оценкой того, насколько прибыльным является портфель. Главная цель диверсификации – это получение наивысшего среднего геометрического.

Как разброс результатов затрагивает геометрический рост

После того как мы признали тот факт, что, хотим мы того или нет, количество для торговли определяется по уровню баланса на счете, можно рассматривать HPR, а не денежные суммы. Таким образом, мы придадим управлению деньгами определенность и точность. Мы сможем проверить наши стратегии управления деньгами, составить правила и сделать определенные выводы. Посмотрим, как связаны геометрический рост и разброс результатов (HPR).

В этой дискуссии мы для простоты будем использовать пример азартной игры. Рассмотрим две системы: систему A, которая выигрывает 10 % времени и имеет отношение выигрыш/проигрыш 28:1, и систему B, которая выигрывает 70 % времени и имеет отношение выигрыш/проигрыш 1,9:1. Наше математическое ожидание на единицу ставки для A равно 1,9, а для B равно 0,4. Поэтому мы можем сказать, что для каждой единицы ставки система A выиграет в среднем в 4,75 раза больше, чем система B. Но давайте рассмотрим торговлю фиксированной долей. Мы можем найти оптимальные f, разделив математическое ожидание на отношение выигрыш/проигрыш. Это даст нам оптимальное f = 0,0678 для A и 0,4 для B. Средние геометрические для каждой системы при соответствующих значениях оптимальных f составят:

A = 1,044176755,

B = 1,0857629.

Как видите, система B, несмотря на то что ее математическое ожидание примерно в четыре раза меньше, чем у системы A, приносит почти в два раза больше за ставку (доходность 8,57629 % за ставку, когда вы реинвестируете с оптимальным f), чем система A (которая приносит 4,4176755 % за ставку, когда вы реинвестируете с оптимальным f).

Проигрыш 50 % по балансу потребует 100 % прибыли для возмещения; 1,044177 в степени Х будет равно 2,0, когда Х приблизительно равно 16,5, т. е. для возмещения 50 % проигрыша для системы A потребуется более 16 сделок. Сравним с системой B, где 1,0857629 в степени Х будет равно 2,0, когда Х приблизительно равно 9, т. е. для системы B потребуется 9 сделок для возмещения 50 % проигрыша.

В чем здесь дело? Не потому ли все это происходит, что система B имеет процент выигрышных сделок выше? Истинная причина, по которой B функционирует лучше A, кроется в разбросе результатов и его влиянии на функцию роста. Большинство трейдеров ошибочно считают, что функция роста TWR задается следующим образом:

TWR = (1 + R) ^ N, (1.17)

где R – процентная ставка за период (например, 7 % = 0,07);

N – количество периодов.

Так как 1 + R то же, что и HPR, ошибочно полагают, что функция роста[5] TWR равна:

TWR = HPR ^ N. (1.18)

Эта функция верна только тогда, когда прибыль (т. е. HPR) постоянна, чего в торговле не бывает.

Реальная функция роста в торговле (или любой другой среде, где HPR не является постоянной) – это произведение всех HPR. Допустим, мы торгуем кофе, наше оптимальное f составляет 1 контракт на каждую 21 000 долл. на балансе счета и прошло 2 сделки, одна из которых принесла убыток 210 долл., а другая – выигрыш 210 долл. В этом примере HPR равны 0,99 и 1,01 соответственно. Таким образом, TWR равно:

TWR = 1,01 * 0,99 = 0,9999.

Дополнительную информацию можно получить, используя оценочное среднее геометрическое (EGM):

EGM = (AHPR ^ 2 – SD ^ 2) ^ (1/2),

или

EGM = (AHPR ^ 2 – V) ^ (1/2).

Теперь возведем уравнение (1.16, а) или (1.16, б) в степень N, чтобы рассчитать TWR. Оно будет близко к «мультипликативной» функции роста, действительному TWR:

Оценочное TWR = ((AHPR ^ 2 – SD ^ 2) ^ (1/2)) ^ N, (1.19, а)

или

Оценочное TWR = ((AHPR ^ 2 – V) ^ (1/2)) ^ N, (1.19, б)

где N – количество периодов;

AHPR – среднее арифметическое HPR;

SD – стандартное отклонение значений HPR;

V – дисперсия значений HPR.

Оба уравнения (1.19) эквивалентны.

Полученная информация говорит, что найден компромисс между увеличением средней арифметической торговли (HPR) и дисперсией HPR, и становится ясна причина, по которой система (1,9:1; 70 %) работает лучше, чем система (28:1; 10 %)!

Нашей целью является максимизация коэффициента этой функции, т. е. максимизация следующей величины:

EGM = (AHPR ^ 2 – V) ^ (1/2).

Показатель оценочного TWR, т. е. N, сам о себе позаботится. Увеличение N не является проблемой, так как мы можем расширить количество рынков или торговать в более краткосрочных типах систем.

Расчет дисперсии и стандартного отклонения (V и SD соответственно) может оказаться трудным для большинства людей, не знакомых со статистикой. Вместо этих величин многие используют среднее абсолютное отклонение, которое мы назовем М. Чтобы найти М, надо просто взять среднее абсолютное значение разности самой величины и ее среднего значения:

При колоколообразном распределении (как почти всегда бывает с распределением прибылей и убытков торговой системы) среднее абсолютное отклонение примерно равно 0,8 стандартного отклонения (в нормальном распределении оно составляет 0,7979). Поэтому мы можем сказать:

М = 0,8 * SD (1.21)

и

SD = 1,25 * М. (1.22)

Обозначим среднее арифметическое HPR переменной A, а среднее геометрическое HPR переменной G. Используя уравнение (1.16, б), мы можем выразить оценочное среднее геометрическое следующим образом:

G = (A ^ 2 – V) ^ (1/2).

Из этого уравнения получим:

G ^ 2 = (A ^ 2 – V). (1.23)

Теперь вместо дисперсии подставим стандартное отклонение [как в (1.16, а)]:

G ^ 2 = A ^ 2 – SD ^ 2. (1.24)

Из этого уравнения мы можем выделить каждую переменную, а также ноль, чтобы получить фундаментальные соотношения между средним арифметическим, средним геометрическим и разбросом, выраженным здесь как SD ^ 2:

A ^ 2 – G ^ 2 – SD ^ 2 = 0, (1.25)

G ^ 2 = A ^ 2 – SD ^ 2, (1.26)

SD ^ 2 = A ^ 2 – G ^ 2, (1.27)

A ^ 2 = G ^ 2 + SD ^ 2. (1.28)

В этих уравнениях значение SD ^ 2 можно записать как V или как (1,25 * М) ^ 2. Это подводит нас к той точке, когда мы можем описать существующие взаимосвязи. Отметьте, что последнее из уравнений – это теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы! Но здесь гипотенуза – это A, а мы хотим максимизировать одну из ее сторон – G. При увеличении G любое повышение D («катет» дисперсии, равный SD, или V ^ (1/2), или 1,25 * М) приведет к увеличению A. Когда D = 0, тогда A = G, этим самым соответствуя ложно толкуемой функции роста TWR = (1 + R) ^ N. Действительно, когда D = 0, тогда A = G в соответствии с уравнением (1.26).

Мы можем сказать, что повышение A ^ 2 оказывает на G то же воздействие, что и аналогичное понижение величины (1,25 * М) ^ 2:

?A^2 = —?((1,25 * M)^2). (1.29)

Чтобы понять это, рассмотрим изменение A от 1,1 до 1,2:

Когда A = 1,1, то SD = 0,1. Когда A = 1,2, то, чтобы получить эквивалентное G, SD должно быть равно 0,4899 согласно уравнению (1.27). Так как М = 0,8 * SD, то М = 0,39192. Если мы возведем в квадрат значения A и SD и рассчитаем разность, то получим 0,23 в соответствии с уравнением (1.29).

Рассмотрим следующую таблицу:

Отметьте, что в предыдущем примере, где мы начали с меньших значений разброса (SD или M), требовалось их большее повышение, чтобы достичь того же G. Таким образом, можно утверждать, что чем сильнее вы уменьшаете дисперсию, тем легче дается больший выигрыш. Это экспоненциальная функция, причем в пределе, при нулевой дисперсии, G = A. Трейдер, который торгует на фиксированной долевой основе, должен максимизировать G, но не обязательно A. При максимизации G надо понимать, что стандартное отклонение SD затрагивает G в той же степени, что и A, в соответствии с теоремой Пифагора! Таким образом, когда трейдер уменьшает стандартное отклонение (SD) своих сделок, это эквивалентно повышению арифметического среднего HPR (т. е. A), и наоборот!

Фундаментальное уравнение торговли

Мы можем получить гораздо больше, чем просто понимание того факта, что уменьшение размера проигрышей улучшает конечный результат. Вернемся к уравнению (1.19, а):

Оценочное TWR = ((AHPR ^ 2 – SD ^ 2) ^ (1/2)) ^ N.

Подставим A вместо AHPR (среднее арифметическое HPR). Далее, так как (Х ^ Y) ^ Z = X ^ (Y * Z), мы можем еще больше упростить уравнение:

Оценочное TWR = (A ^ 2 – SD ^ 2) ^ (N/2). (1.19, в)

Это последнее уравнение мы назовем фундаментальным уравнением торговли, так как оно описывает, как различные факторы – A, SD и N – влияют на результат торговли.

Очевидны несколько фактов. Во-первых, если A <= 1, тогда при любых значениях двух других переменных – SD и N – наш результат не может быть больше единицы. Если A < 1, то при N, стремящемся к бесконечности, наш результат приближается к нулю. Это означает, что, если A <= 1 (математическое ожидание меньше или равно нулю, так как математическое ожидание равно A – 1), у нас нет шансов получить прибыль. Фактически если A < 1, то наше разорение – это просто вопрос времени (т. е. достаточно большого N).

При условии, что A > 1, с ростом N увеличивается наша прибыль. Например, система показала среднее арифметическое 1,1 и стандартное отклонение 0,25. Таким образом:

Оценочное TWR = (1,1 ^ 2–0,25 ^ 2) ^ (N/2) = (1,21 – 0,0625) ^ (N/2) = 1,1475 ^ (N/2).

В нашем примере, где коэффициент равен 1,1475, получаем: 1,1475 ^ (1/2) = = 1,071214264. Таким образом, каждая следующая сделка, каждое увеличение N на единицу, соответствует умножению нашего конечного счета на 1,071214264. Отметьте, что это число является средним геометрическим. Каждый раз, когда осуществляется сделка и когда N увеличивается на единицу, коэффициент умножается на среднее геометрическое. В этом и состоит действительная польза диверсификации, выраженная математически фундаментальным уравнением торговли. Диверсификация позволяет как бы увеличить N (т. е. количество сделок) за определенный период времени.

Есть еще одна важная деталь, которую необходимо отметить при рассмотрении фундаментального уравнения торговли: хорошо, когда вы уменьшаете стандартное отклонение больше, чем арифметическое среднее HPR. Поэтому следует быстро закрывать убыточные позиции (использовать маленький стоп-лосс). Но уравнение также демонстрирует, что при выборе слишком жесткого стопа вы можете потерять больше. Вас выбьет с рынка из-за слишком большого количества сделок с маленьким проигрышем, которые позднее оказались бы прибыльными, поскольку A уменьшается в большей степени, чем SD.

Вместе с тем уменьшение больших выигрышных сделок поможет вашей системе, если это уменьшает SD больше, чем уменьшает A. Во многих случаях этого можно достичь путем включения в вашу торговую программу опционов. Позиция по опционам, которая направлена против позиции базового инструмента (покупка опциона или продажа соответствующего опциона), может оказаться весьма полезной. Например, если у вас длинная позиция по какой-либо акции (или товару), покупка пут-опциона (или продажа колл-опциона) может уменьшить ваше SD по совокупной позиции в большей степени, чем A. Если вы получаете прибыль по базовому инструменту, то будете в убытке по опциону. При этом убыток по опциону лишь незначительно уменьшит общую прибыль. Таким образом, вы уменьшили как SD, так и A. Если вы не получаете прибыль по базовому инструменту, вам надо увеличить A и уменьшить SD. Надо стремиться уменьшать SD в большей степени, чем A.

Конечно, издержки на транзакции при такой стратегии довольно значительны, и они всегда должны приниматься в расчет. Чтобы воспользоваться этой стратегией, ваша программа не должна быть ориентирована на очень короткий срок. Все вышесказанное лишь подтверждает, что различные стратегии и различные торговые правила должны рассматриваться с точки зрения фундаментального уравнения торговли. Таким образом, мы можем оценить влияние этих факторов на уровень возможных убытков и понять, что именно необходимо сделать для улучшения системы.

Допустим, в долгосрочной торговой программе была использована вышеупомянутая стратегия покупки пут-опциона совместно с длинной позицией по базовому инструменту, и в результате мы получили большее оценочное TWR. Ситуация, когда одновременно открыты длинная позиция по базовому инструменту и позиция по пут-опциону, эквивалентна длинной позиции по колл-опциону. В этом случае лучше просто купить колл-опцион, так как издержки на транзакции будут существенно ниже[6], чем при наличии длинной позиции по базовому инструменту и длинной позиции по пут-опциону.