Мы видели, что оптимальный рост счета достигается посредством оптимального f. Это верно независимо от инструмента, используемого в торговле. Работаем ли мы на рынке фьючерсов, акций или опционов, управляем ли группой трейдеров, при оптимальном f достигается оптимальный рост, а поставленная цель – в кратчайшее время. Мы также узнали, как с эмпирической точки зрения объединить различные рыночные системы на их оптимальных уровнях f в оптимальный портфель, т. е. как скомбинировать оптимальное f и теорию портфеля, используя прошлые данные для определения весов компонентов в оптимальном портфеле. Далее мы рассмотрим важные характеристики торговли фиксированной долей.

Оптимальное f для начинающих трейдеров с небольшими капиталами

Каким образом при небольшом счете, который дает возможность торговать только 1 контрактом, использовать подход оптимального f? Одно из предложений заключается в том, чтобы торговать 1 контрактом, учитывая не только оптимальное f в долларах (наибольший проигрыш / —f), но также проигрыш и маржу (залог). Сумма средств, отведенная под первый контракт, должна быть больше суммы оптимального f в долларах или маржи плюс максимальный исторический проигрыш (на основе 1 единицы):

А = МАХ {(Наибольший проигрыш / —f), (Маржа + ABS (Проигрыш))}, (2.1)

где А – сумма в долларах, отведенная под первый контракт;

f – оптимальное f (от 0 до 1);

Маржа – первоначальная спекулятивная маржа для данного контракта (залоговые средства, необходимые для открытия одного контракта);

Проигрыш – максимальный исторический совокупный проигрыш;

МАХ {} – максимальное значение выражения в скобках;

ABS() – функция абсолютного значения.

При такой процедуре вы сможете пережить максимальный проигрыш и все еще иметь достаточно денег для следующей попытки. Хотя мы не можем быть уверены, что в будущем проигрыш наихудшего случая не превысит исторический проигрыш наихудшего случая, маловероятно, чтобы мы начали торговлю сразу с нового исторического проигрыша. Трейдер, использующий эту технику, каждый день должен вычитать сумму, полученную с помощью уравнения (2.1), из своего баланса. Остаток следует разделить на величину (наибольший проигрыш / —f). Полученный ответ следует округлить в меньшую сторону и прибавить единицу, таким образом мы получим число контрактов для торговли.

Прояснить ситуацию поможет пример. Допустим, у нас есть система, где оптимальное f = 0,4, наибольший исторический проигрыш равен –3000 долл., максимальный совокупный проигрыш был –6000 долл., а залог равен 2500 долл. Используя уравнение (2.1), мы получим:

А = МАХ {(—$3000 / 0,4), ($2500 + ABS(—$6000))} = MAX {($7500), ($2500 + $6000)} = MAX {$7500, $8500} = $8500.

Таким образом, нам следует отвести 8500 долл. под первый контракт. Теперь допустим, что на нашем счете 22 500 долл. Поэтому мы вычтем сумму под первый контракт из баланса:

$22 500 – $8500 = $14 000.

Затем разделим эту сумму на оптимальное f в долларах:

$14 000 / $7500 = 1,867.

Округлим полученный результат в меньшую сторону до ближайшего целого числа:

INT (1,867) = 1.

Затем добавим 1 к полученному результату (1 контракт уже обеспечен 8500 долл., которые мы вычли из баланса):

1 + 1 = 2.

Таким образом, мы будем торговать 2 контрактами. Если бы мы торговали на уровне оптимального f (7500 долл. на 1 контракт), то торговали бы 3 контрактами (22 500 / 7500). Как видите, этот метод можно использовать независимо от того, насколько велик баланс счета (однако чем больше баланс, тем ближе будут результаты). Более того, чем больше баланс, тем менее вероятно, что вы в конце концов получите проигрыш, после которого сможете торговать только 1 контрактом. Трейдерам с небольшими счетами или тем, кто только начинает торговать, следует использовать этот подход.

Порог геометрической торговли

Существует еще один хороший подход для трейдеров, которые только начинают торговать, правда, если вы не используете только что упомянутый метод. При таком подходе используется еще один побочный продукт оптимального f – порог геометрической торговли. Мы уже знаем такие побочные продукты оптимального f, как TWR, среднее геометрическое и т. д.; они были получены из оптимального f и дают нам информацию о системе. Порог геометрической торговли – еще один из таких побочных расчетов. По существу, порог геометрической торговли говорит нам, в какой точке следует переключиться на торговлю фиксированной долей, предполагая, что мы начинаем торговать фиксированным количеством контрактов.

Вспомните пример с броском монеты, где мы выигрываем 2 долл., если монета падает на лицевую сторону, и проигрываем 1 долл., если она падает на обратную сторону. Мы знаем, что оптимальное f = 0,25, т. е. 1 ставка на каждые 4 долл. баланса счета. Если мы торгуем на основе постоянного количества контрактов, то в среднем выигрываем 0,50 долл. за игру. Однако если мы начнем торговать фиксированной долей счета, то можем ожидать выигрыш в 0,2428 долл. на единицу за одну игру (при геометрической средней торговле).

Допустим, мы начинаем с первоначального счета в 4 долл. и поэтому делаем 1 ставку за одну игру. В конце концов, когда счет увеличивается до 8 долл., следует делать 2 ставки за одну игру. Однако 2 ставки, умноженные на геометрическую среднюю торговлю 0,2428 долл., дадут в итоге 0,4856 долл. Не лучше ли придерживаться 1 ставки при уровне баланса 8 долл., так как нашим ожиданием за одну игру все еще будет 0,50 долл.? Ответ: «да». Причина в том, что оптимальное f рассчитывается на основе контрактов, которые бесконечно делимы, чего в реальной торговле не бывает.

Мы можем найти точку, где следует перейти к торговле двумя контрактами, основываясь на формуле порога геометрической торговли Т:

Т = ААТ / GAT * Наибольший убыток / —f,(2.2)

где T – порог геометрической торговли;

ААТ – средняя арифметическая сделка;

GAT – средняя геометрическая сделка;

f – оптимальное f (от 0 до 1).

Для нашего примера с броском монеты (2: 1):

Т = 0,50 / 0,2428 * –1 / –0,25 = 8,24.

Поэтому следует переходить на торговлю 2 контрактами, когда счет увеличится до 8,24 долл., а не до 8,00 долл. Рис. 2.1 иллюстрирует порог геометрической торговли для игры с 50 %-ным шансом выигрыша 2 долл. и 50 %-ным шансом проигрыша 1 долл.

Отметьте, что дно кривой порога геометрической торговли соответствует оптимальному f. Порог геометрической торговли является оптимальным уровнем баланса для перехода от торговли 1 единицей к торговле 2 единицами. Поэтому если вы используете оптимальное f, то сможете перейти к геометрической торговле при минимальном уровне баланса счета. Теперь возникает вопрос: можем ли мы использовать подобный подход, чтобы узнать, когда переходить от 2 к 3 контрактам? А также: почему в самом начале размер единицы не может быть 100 контрактов, если мы начинаем с достаточно большого счета, а не такого, который позволяет торговать лишь одним контрактом? Разумеется, можно использовать этот метод при работе с размером единицы, большим 1. Однако это корректно в том случае, если вы не уменьшите размер единицы до перехода к геометрическому способу торговли. Дело в том, что до того, как вы перейдете на геометрическую торговлю, вы должны будете торговать постоянным размером единицы.

Рис. 2.1. Порог геометрической торговли для броска монеты 2: 1

Допустим, вы начинаете со счета в 400 единиц в игре с броском монеты 2: 1. Оптимальное f в долларах предполагает торговлю 1 контрактом (1 ставка) на каждые 4 долл. на счете. Поэтому начинайте торговать 100 контрактами (сделав 100 ставок) в первой сделке. Ваш порог геометрической торговли равен 8,24 долл., и поэтому следует торговать 101 контрактом на уровне баланса 404,24 долл. Вы можете преобразовать порог геометрической торговли, который соответствует переходу с 1 контракта к 2 контрактам следующим образом:

Преобразованное Т = EQ + T – (Наибольший проигрыш / —f), (2.3)

где EQ – начальный уровень баланса счета;

Т – порог геометрической торговли для перехода с 1 контракта к 2;

f – оптимальное f (от 0 до 1).

Преобразованное Т = 400 + 8,24 – (–1 / –0,25) = 400 + 8,24 – 4 = 404,24.

Таким образом, вы перейдете к торговле 101 контрактом (101 ставке), только когда баланс счета достигнет 404,24 долл. Допустим, вы торгуете постоянным количеством контрактов, пока баланс счета не достигнет 404,24 долл., где вы начнете применять геометрический подход. Пока баланс счета не достигнет 404,24 долл., вы будете торговать 100 контрактами в последующих сделках независимо от суммы счета. Если после того, как вы пересечете порог геометрической торговли (т. е. после того, как баланс счета достигнет 404,24 долл.), вы понесете убыток и баланс упадет ниже 404,24 долл., вы вернетесь снова к торговле на основе 100 контрактов и будете так торговать до тех пор, пока снова не пересечете геометрический порог.

Невозможность уменьшения количества контрактов при уменьшении счета, когда вы находитесь ниже геометрического порога, является недостатком при использовании этой процедуры, когда контрактов больше 2. Если вы торгуете только 1 контрактом, геометрический порог является реальным методом для определения того, на каком уровне баланса начать торговать 2 контрактами (так как вы не можете торговать менее чем 1 контрактом при понижении баланса). Однако этот метод не работает, когда речь идет о переходе от 2 контрактов к 3, так как метод базируется на том, что вы начинаете торговлю с постоянного количества контрактов, т. е. если вы торгуете 2 контрактами, метод не будет работать (за исключением случая, когда вы откажетесь от возможности понизить количество контрактов до 1 при падении уровня баланса). Таким образом, начиная торговлю со 100 контрактов, вы не можете перейти к торговле меньшим числом контрактов. Если вы не будете уменьшать количество контрактов, которыми в настоящее время торгуете, при понижении баланса, то порог геометрической торговли или его преобразованная версия из уравнения (2.3) будет уровнем баланса, достаточным для добавления следующего контракта. Проблема этой операции (не уменьшать при понижении) состоит в том, что вы заработаете меньше (TWR будет меньше) в асимптотическом смысле. Вы не выиграете столько, сколько бы выиграли при торговле полным оптимальным f. Более того, ваши проигрыши будут больше, и риск банкротства увеличится. Поэтому порог геометрической торговли будет эффективен, если вы начнете с наименьшего размера ставки (1 контракт) и повысите его до 2. Оптимально, если средняя арифметическая сделка более чем в два раза превышает среднюю геометрическую сделку. Предложенный метод следует использовать, когда вы не можете торговать дробными единицами.

Один комбинированный денежный счет по сравнению с отдельными денежными счетами

Прежде чем мы обсудим параметрические методы, необходимо рассмотреть некоторые очень важные вопросы в отношении торговли фиксированной долей. При одновременной торговле более чем в одной рыночной системе вы получите лучшие результаты в асимптотическом смысле, если будете использовать только один комбинированный денежный счет. Рассчитывать количество контрактов для торговли следует не для каждого отдельно взятого денежного счета, а для данного единого комбинированного счета.

По этой причине необходимо ежедневно «соединять» подсчета при изменении их балансов. Сравним две похожие системы: систему А и систему Б. Обе системы имеют 50 %-ный шанс выигрыша и отношение выигрыша 2:1. Поэтому оптимальное f диктует, чтобы мы ставили 1 долл. на каждые 4 долл. баланса. Первый пример описывает ситуацию, когда эти две системы имеют положительную корреляцию. Мы начинаем со 100 долл. и разбиваем их на 2 подсчета по 50 долл. каждый. После регистрации сделки для этой системы изменится только столбец «Полный капитал», так как каждая система имеет собственный отдельный счет. Размер денежного счета каждой системы используется для определения ставки для последующей игры (табл. I):

Таблица I

Теперь мы рассмотрим комбинированный счет в 100 единиц. Вместо того чтобы ставить 1 долл. на каждые 4 долл. на комбинированном счете для каждой системы, мы будем ставить 1 долл. на каждые 8 долл. комбинированного счета. Каждая сделка в любой из систем затрагивает комбинированный счет, и именно комбинированный счет используется при определении размера ставки для последующей игры (табл. II).

Таблица II

Отметьте, что в случае комбинированного счета и в случае отдельных счетов прибыль одна и та же: 42,38 долл. Мы рассматривали положительную корреляцию между двумя системами. Теперь рассмотрим случай с отрицательной корреляцией между теми же системами для двух отдельных денежных счетов (табл. III).

Таблица III

Как видите, при работе с отдельными денежными счетами обе системы выигрывают ту же сумму независимо от корреляции. Однако при комбинированном счете итог несколько иной (табл. IV):

Таблица IV

Как видите, при использовании комбинированного счета результаты гораздо лучше. Таким образом, торговать фиксированной долей следует на основе одного комбинированного счета.

Рассматривайте каждую игру как бесконечно повторяющуюся

Следующая аксиома, касающаяся торговли фиксированной долей, относится к максимизации текущего события, как будто оно должно быть осуществлено бесконечное количество раз в будущем. Мы определили, что для процесса независимых испытаний вы должны всегда использовать оптимальное и постоянное f, но при наличии зависимости оптимальное f уже не будет постоянной величиной.

Допустим, в нашей системе существует зависимость, в соответствии с которой подобное порождает подобное, а доверительная граница достаточно высока. Для наглядности мы будем использовать уже знакомую нам игру 2:1. Система показывает, что если последняя игра выигрышная, то следующая игра имеет 55 %-ный шанс выигрыша. Если последняя игра проигрышная, то следующая игра имеет 45 %-ный шанс проигрыша. Таким образом, если последняя игра была выигрышная, то исходя из формулы Келли – уравнение (1.10) для поиска оптимального f (так как результаты игры имеют распределение Бернулли) – получим:

f = ((2 + 1) * 0,55 – 1) / 2 = (3 * 0,55 – 1) / 2 = 0,65 / 2 = 0,325.

После проигрышной игры наше оптимальное f равно:

f = ((2 + 1) * 0,45 – 1) / 2 = (3 * 0,45 – 1) / 2 = 0,35 / 2 = 0,175.

Разделив наибольший проигрыш системы (т. е. –1) на отрицательные оптимальные f, мы получим 1 ставку на каждые 3,076923077 единицы на счете после выигрыша и 1 ставку на каждые 5,714285714 единицы на счете после проигрыша. Таким образом, мы максимизируем рост в долгосрочной перспективе.

Отметьте, что в этом примере ставки как после выигрышей, так и после проигрышей все еще имеют положительное математическое ожидание. Что произойдет, если после проигрыша вероятность выигрыша будет равна 0,3? В таком случае математическое ожидание имеет отрицательное значение и оптимального f не существует, т. е. вам не следует использовать эту игру:

МО = (0,3 * 2) + (0,7 * –1) = 0,6–0,7 = –0,1.

В этом случае следует использовать оптимальное количество только после выигрыша и не торговать после проигрыша. Если зависимость действительно существует, вы должны изолировать сделки рыночной системы, основанные на зависимости, и обращаться с изолированными сделками как с отдельными рыночными системами. Принцип, состоящий в том, что асимптотический рост максимизируется, когда каждая игра осуществляется бесконечное количество раз в будущем, также применим к нескольким одновременным играм (или торговле портфелем).

Рассмотрим две системы ставок – А и Б. Обе имеют отношение выигрыша к проигрышу 2:1 и выигрывают 50 % времени. Допустим, что коэффициент корреляции между двумя системами равен 0. Оптимальные f для обеих систем (при раздельной, а не одновременной торговле) составляют 0,25 (т. е. 1 ставка на каждые 4 единицы на балансе). Оптимальные f при одновременной торговле в обеих системах составляют 0,23 (т. е. 1 ставка на каждые 4,347826087 единицы на балансе счета). В случае, когда система Б торгует только две трети времени, некоторые трейдеры разорятся, если обе системы не будут торговать одновременно. Первая последовательность показана при начальном комбинированном счете в 1000 единиц, и для каждой системы оптимальное f соответствует 1 ставке на каждые 4,347826087 единицы: