ДЕКАРТ РЕНЕ

(1596 г. – 1650 г.)

Вот уже три с половиной века человечество живет под сенью знаменитого утверждения французского философа Рене Декарта: cogito ergo sum – «мыслю, следовательно, существую». Эти три коротких латинских слова надолго определили путь «новой философии»[20]. Выражение стало словно заклинанием, замкнувшим философскую мысль на факте субъективного сознания.

В трех простых словах было заложено решение сомневаться во всем до той поры, пока разум не представит нечто определенно доказуемое. Такой взгляд на познание означал разрыв с любым авторитетом. С Декартом (латинизированное имя Картезий) была завоевана свобода, лишиться которой философия уже не могла.

Открытие, положившее начало новому мышлению, было сделано 23-летним Декартом в 1619 г. на земле Баварии, куда молодой ученый приехал, чтобы стать свидетелем развернувшейся Тридцатилетней войны. Но прежде чем совершить этот и другие прорывы в области философских и физико-математических знаний, Декарт прошел хорошую школу овладения точными науками, такими, как математика, астрономия и физика. Потому вся последующая деятельность Декарта скорее напоминала научно-исследовательскую, чем чисто творческую.

Родился Рене Декарт 31 марта 1596 г. в туренском провинциальном Лайе в семье советника парламента Бретани Иоахима Декарта. Мать Рене умерла от болезни легких, когда мальчику исполнился всего один год. Болезнь оказалась наследственной, Декарт многие годы страдал слабыми легкими и, хотя постоянно оберегался от простуд, умер именно от воспаления легких.

В 1606 г. Рене отдали в коллеж Л а Флеш – одно из лучших учебных заведений тогдашней Франции, основанное иезуитами с согласия короля Генриха IV, предоставившего в распоряжение школы свой фамильный замок Шатонеф. Здесь юный Рене провел девять лет, усваивая латынь, древнегреческий, грамматику, риторику, богословие и схоластику[21]. Последние три года учебы отводились философии, которая включала логику, этику, физику, математику и завершалась постижением идей аристотелевской метафизики[22]. Объяснялось это тем, что в философской традиции католицизма господствовал аристотелизм в том виде, в каком он был преобразован крупнейшим из средневековых учителей католической церкви Фомой Аквинским. Его важнейшим элементом была теснейшая связь метафизики с теологией и даже подчинение ее теологии.

Впоследствии Декарт высоко оценивал качество образования в школе иезуитов. И тем не менее после ее окончания он, придя к мысли, что полученных знаний недостаточно, поступил в 1615 г. в университет города Пуатье с целью более углубленного изучения права и медицины. Став бакалавром права, 20-летний Декарт решил, что пора повидать мир и набраться жизненного опыта, тем более что состоятельная семья вполне обеспечивала ему подобное путешествие. Тринадцать лет длились странствия Декарта. Он успел за это время побывать в Италии, Польше, Дании, Германии, Чехии, Нидерландах, послужить в трех армиях – голландской, баварской и венгерской, – правда, так и не приняв участия ни в одном сражении. И где бы ни пребывал Декарт, он все эти годы неустанно размышлял над философскими проблемами, стремясь сформулировать собственный закон, способствующий постижению высоких истин.

В Германии Декарт серьезно заинтересовался наследием немецких мыслителей. Там же разработал основные идеи своей философии, обнародованной, правда, гораздо позже. Как же пришел Декарт к своему cogito ergo sum? Его главное сомнение заключалось в следующем: как можно убедиться на философском уровне в существовании чего-либо? По отношению к внешним вещам это препятствие казалось непреодолимым. Исходя из имеющейся философской базы, невозможно было доказать существование вещей, находящихся независимо от нас. Декарт хотел найти точку, в которой бы мышление и бытие совпадали. В формуле «мыслю, значит, существую» он и увидел такое тождество.

Понятно, что в этой максиме скрывалось немало «подводных камней». Ведь мы можем существовать, когда и не мыслим, например, во сне. Декарт же скорректировал свою формулировку утверждениями о том, что, мысля, я существую лишь определенным образом, то есть в качестве мыслящего.

Это положение Декарта комментировалось так часто и столь многими философами, что их рассуждения могли бы составить отдельный том. В них, разумеется, главенствует уже не мудрость, а чистая Философия, почувствовавшая себя царицей наук.

Величие Декарта состояло в том, что он первым высказал общую идею, согласно которой в философии следует считать истинным только то, что отчетливо и ясно можно познать. Тем самым он установил в философской науке понятие «принципа», при котором истинным считается лишь то, что описано с помощью этого принципа и выведено из него.

По существу, Декарт, опередив свою эпоху, заложил метафизические основы нового времени. Конечно, это не означает, что вся последующая европейская мысль оказалась картезианской, но он создал фундамент свободной философии. Человек должен удостовериться в самом себе, то есть обеспечить себя возможностями для реализации намерений и представлений. Причем основа свободной философии должна быть проявлена в самом человеке, что и пытался доказать Декарт, своеобразно истолковав давнее протагоровское изречение: «Человек – мера всех вещей».

В Германии Декарт сделал еще одно важное открытие, но уже касающееся математики. Осенью 1620 г. он записал: «11 ноября я начал понимать основание чудесной науки». Речь шла об открытии основ аналитической геометрии. Позже Декарт определил приоритеты и в других отраслях знаний: в механике он указал на относительность покоя и движения, сформулировал общий закон действия и противодействия; в космогонии развил новую для науки идею естественного развития солнечной системы; в физиологии им установлена схема двигательных реакций, которая явилась одним из первых научных описаний рефлекторного акта.

Научным изысканиям Декарта во многом способствовали его связи с французскими учеными и философами. Особо важную роль сыграла завязавшаяся в конце 1620-х годов дружба с известным мыслителем и общественным деятелем Мареном Мерсенном. Окончив ту же коллегию Лa Флеш (на два года раньше Декарта), Мерсенн в дальнейшем стал монахом францисканского ордена. В то же время он был преподавателем философии и теологии и публиковал не только философские труды, но и работы по математике, механике, физике, музыке. Кружок ученых, образовавшийся вокруг него, впоследствии (уже после смерти его и Декарта) превратился во Французскую академию наук.

Наилучшие условия для дальнейшего развития и литературного оформления научной и философской мысли Декарт увидел в Нидерландах, куда и переселился осенью 1628 г. Средства позволяли ему снимать квартиры и дома в различных городах и сельских местностях этой страны. Поскольку своей семьи у Декарта не было, он с головой ушел в научную работу. Радость жизни для него всегда была радостью мысли в поисках истины. В одном из последних своих писем в марте 1649 г. философ, заметив, что здоровье тела – величайшее из человеческих благ, о котором забывают, когда оно есть, писал, что «познание истины – это как бы здоровье души: когда ею овладевают, о ней больше не думают».

В Нидерландах Декарт пробыл более двадцати лет (за это время он трижды наведывался на родину, где провел в общей сложности менее года). Сразу же после своего переезда туда он начал работать и над большим конкретно-научным и философским произведением, которое собирался назвать «Мир». На основе сложившихся у него принципов механики философ задумал отразить в нем картину всего мироздания. Летом 1633 г., когда работа была почти закончена, Декарт узнал о том, что папская инквизиция в Риме осудила опубликованный в 1632 г. труд Галилея «Диалог о двух главнейших системах мира – Птолемеевой и Коперниковой». Это известие произвело на Декарта тяжелое впечатление, ибо его «Мир» был написан на основе тех же принципов, что и произведение Галилея. Хотя на Нидерланды как на страну в основном протестантскую угрозы римской курии[23] и инквизиции не распространялись, Декарт, будучи католиком, отказался от публикации почти готового труда. Здесь проявились присущие философу осторожность и сдержанность. Правда, он мог бы издать свой труд, устранив ряд принципиальных положений, сближавших его с трактатом Галилея, но такого рода изъятия исказили бы произведение, и Декарт предпочел его не публиковать.

Естественно, Декарт не стал бы великим новатором в области философской науки, если бы не подверг сомнению все, что было достигнуто античными мудрецами. «То, чему учили древние, так незначительно и по большей части так маловероятно, что я не надеюсь приблизиться к истине иначе, как удаляясь от путей, которым они следовали».

Декарт и удалялся. Порою так далеко, что переставал быть понятным не только современникам, но и самому себе. В новой философии не было ни одного мыслителя, который бы не «прошелся» критическим пером по картезианскому наследию. Спиноза, Лейбниц, Вольф, Кант, Шеллинг и другие выдающиеся умы подвергали суждения Декарта беспощадному анализу, указывая на их путанность и противоречия. Особенно доставалось французскому мыслителю за выведение идеи Бога.

Следует заметить, что еще со времен Платона каждый философ стремился по-своему определить неопределимое, внести собственное понятие о Боге как о важнейшей трансцендентной[24] величине. Декарт подошел к этому вопросу не по-богословски, а по-философски. Сначала он определил материю как протяженность, в которой нет пустот. Бог является первичной причиной движения тел в протяженности. Он же и создатель всей этой материи. Движение также происходит благодаря божественной силе. Таким образом, Декарт был первым философом, допустившим существование движущегося первоначала, которое затем стало движущей силой материи.

Далее: все наши представления о мире человек получает непосредственно от Бога как творца движения и покоя, благодаря которым мы воспринимаем мир. В подобном духе Декарт выводил не менее известное доказательство бытия Бога, получившее впоследствии название «онтологического»: «Я мыслю о Боге, значит, он существует».

Следующее по важности понятие, рассмотренное Декартом, – соотношение души и тела. Душа, по Декарту, оказалась мыслящей, но не материальной. Сама по себе она недоступна материальным воздействиям, лишь при посредстве Бога в душе возникают представления о телесном.

По сути, Декарт ввел в философию идею абсолютной противоположности духа и тела, что затем было названо дуализмом[25]. Как указывали критики, введя свое понятие Бога, Декарт отказался от его познания, видя в Боге нечто предполагаемое, но не понятое.

В 1630-х и 1640-х годах Декарт продолжал разработку своей методологии физики и философии. Итогом этой работы стал труд «Рассуждение о методе», опубликованный в 1637 г. Это произведение представляет собой программный документ, в котором автор сформулировал все основные вопросы своей философии, как и направление естественно-научных исследований. Заключая в себе автобиографические моменты, оно формулировало и правила морали, которых Декарт твердо решил придерживаться в жизни.

В 1645–1648 гг., кроме активной переписки, в которой уточнялись и развивались многие философские и научные идеи, Декарт работал над сочинением «Описание человеческого тела. Об образовании животного». В нем он сделал попытку применить принципы своей физики к объяснению животного и человеческого организмов. Антропологическая проблематика, в фокусе которой было исследование телесных качеств и духовных свойств человека, составила содержание трактата «Страсти души», напечатанного в Нидерландах в конце 1649 года.

В это время Декарт находился уже в Стокгольме, куда выехал по приглашению королевы Христины, которая с его помощью намеревалась учредить в Швеции Академию наук (и даже сама пыталась овладеть принципами картезианства). Но пребывание Декарта в Стокгольме продлилось лишь несколько месяцев. Он скончался 11 февраля 1650 г. от сильной простуды, перешедшей в воспаление легких.

У Декарта и сегодня есть чему поучиться. Он был магом теорий и гипотез, философом, избиравшим нехоженые дороги, больше похожие на запутанные тропинки. Его интуиция была поразительной, а мужество достойно не только уважения, но и подражания. Да и как можно не восхищаться человеком, сказавшим: «Дайте мне материю и движение, и я построю вам из этого Вселенную».

ФЕРМА ПЬЕР

(1601 г. – 1665 г.)

В III веке н. э. в Александрии жил и работал математик Диофант. Потомкам он оставил большой трактат «Арифметика», из тринадцати книг которого, к сожалению, сохранилось только шесть. Во второй книге «Арифметики» Диофант поставил вытекающую из теоремы Пифагора задачу. Он попытался представить данный квадрат в виде суммы двух рациональных квадратов. С этой задачей Диофант не справился, также не смог он доказать и невозможность ее решения.

Труд Диофанта долго оставался популярным среди математиков. В первой половине XVII века один из экземпляров «Арифметики» попал в Италию, был переведен на латынь и издан. В 1636 году это издание попало в руки Пьера Ферма – юриста из Тулузы. На полях второй книги «Арифметики» Ферма написал: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». В более привычном современному читателю виде это утверждение можно выразить так: уравнение Хⁿ+Yⁿ=Zⁿ при n>2 не имеет целых положительных решений. К сожалению, не только на полях «Арифметики», но и вообще ни в каких бумагах Ферма не изложил свое «поистине чудесное доказательство». Так было положено начало одной из самых захватывающих проблем математики – доказательство Великой теоремы Ферма.

На протяжении трех с половиной веков математики всех стран не оставляли попытки доказать Великую теорему. Она даже стала причиной установления своеобразного антирекорда – теоремой, для которой было предложено наибольшее число неверных доказательств. Только в 1995 году победу над неприступной теоремой одержал математик Эндрю Уайлз. Его доказательство было основано на теориях и понятиях, во времена Ферма не существовавших, и изложено более чем на ста страницах. Действительно, полей «Арифметики» Диофанта Ферма могло бы не хватить. Кем же был этот человек, на три с лишним столетия поставивший в тупик математиков всего мира?

Биографические сведения о Пьере Ферма весьма отрывочны. Долгое время даже бытовало неверное мнение о том, что ученый родился в Тулузе, где он впоследствии долго жил и работал. Соответственно, не было никаких сведений и о родителях Ферма. Но в 1846 году некий адвокат обнаружил в архивах маленького городка Бомон-де-Ломань на юге Франции следующую запись: «Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консулата города Бомона, крещен 20 августа 1601 г. Крестный отец – Пьер Ферма, купец и брат названного Доминика, крестная мать – Жанна Казнюв, и я (Дюма, викарий)». Таким образом, отец Пьера, Доминик Ферма, был богатым торговцем и к тому же занимал должность второго консула города, то есть имел достаточно высокое общественное положение. Мать знаменитого математика, Клер, происходила из семьи юриста и, скорее всего, была женщиной образованной. О детстве Пьера известно мало, но совершенно очевидно, что супруги Ферма дали сыну прекрасное образование. Он знал латинский, греческий, испанский и итальянский языки, писал стихи, был прекрасным знатоком античной литературы. Начальное образование Пьер, по-видимому, получил дома, а затем, скорее всего, обучался в школе при местном монастыре францисканцев.

Известно, что Ферма посещал лекции в Тулузском университете, а затем во второй половине 1620-х годов учился в Бордо. Именно в Бордо Пьер начал всерьез интересоваться математикой. Здесь он написал работу о восстановлении двух утерянных книг Аполлония Пергского «О плоских местах» и занимался проблемами наибольших и наименьших величин. Относящиеся к 1629 году работы, посвященные последней тематике, стали началом ряда исследований, считающихся основным вкладом Ферма в развитие математики. Между тем, основным своим занятием Пьер считал юриспруденцию. Образование он закончил в университете Орлеана, где получил степень бакалавра права.

В 1631 году Ферма купил патент советника в парламенте Тулузы (парламенты городов исполняли судебные функции). Пьер был всесторонне одаренным человеком. Он замечательно справлялся со своими профессиональными обязанностями и снискал себе славу прекрасного юриста. С тех пор и на протяжении всей жизни Ферма состоял на различных государственных должностях и сделал неплохую карьеру. Наукой же он занимался в свободное от основной работы время.

В том же 1631 году Ферма женился на Луизе де Лонг – дальней родственнице своей матери. Брак оказался вполне счастливым и многодетным, Луиза подарила своему мужу пятерых детей. Старший из них, Сэмюель, впоследствии стал достаточно известным в свое время ученым и поэтом, а кроме того, он оказал большую услугу математикам и исследователям последующих поколений. Дело в том, что свои работы Пьер Ферма практически не публиковал, исключение составляет только изданная в 1660 году диссертация «О сравнении кривых линий прямыми». Он неоднократно пытался начать работу по подготовке к изданию собрания своих сочинений, но времени, остающегося от юридической деятельности, постоянно не хватало. Уже после смерти ученого его сын смог реализовать эту идею. В 1679 году Сэмюель Ферма издал собрание математических работ отца под названием «Различные математические работы доктора Пьера де Ферма, выбранные из его писем или к нему, написанных по математическим вопросам и по физике ученейшими мужами на французском, латинском или итальянском языках».

Подробности научной работы Ферма коллеги-современники узнавали по обширной переписке, которую ученый вел с ведущими математиками Европы того времени: Мерсенном, Робервалем, отцом и сыном Паскалями, Декартом, Френиклем, Каркави, Гассенди, Сенье, Булльо, Дигби, Клерселье, Лалувером, Гюйгенсом. Дело в том, что переписка между учеными в те времена была, пожалуй, основным методом передачи научной информации. Основным адресатом Ферма был аббат Мерсенн. Об этом интереснейшем человеке следует сказать несколько слов. Никаких серьезных научных открытий Мерсенн не сделал, тем не менее, его вклад в развитие науки очень велик. На протяжении 30 лет он возглавлял кружок, в который входили все ведущие математики и физики Парижа. В дальнейшем именно кружок Мерсенна стал основой для создания Парижской академии наук. Кроме того, аббат выполнял очень трудоемкую и важную «диспетчерскую» функцию, в чем-то напоминающую работу современных научных журналов. Он размножал приходившие на его адрес письма и отправлял их всем ученым, работа которых была связана с затронутой в данном случае проблемой. Состоять в переписке с Мерсенном было большой честью для ученых того времени.

В 1636 году Ферма писал Мерсенну: «Святой отец! Я Вам чрезвычайно признателен за честь, которую Вы мне оказали, подав надежду на то, что мы сможем беседовать письменно…Я буду очень рад узнать от Вас о всех новых трактатах и книгах по математике, которые появились за последние пять-шесть лет…Я нашел также много аналитических методов для различных проблем, как числовых, так и геометрических, для решения которых анализ Виета недостаточен. Всем этим я поделюсь с Вами, когда Вы захотите, и притом без всякого высокомерия, от которого я более свободен и более далек, чем любой другой человек на свете».

Здесь следует сказать, что корреспонденты Мерсенна не слишком благосклонно встретили нового участника переписки. Многие идеи Ферма показались его коллегам спорными, а многочисленные задачи, которые он излагал в своих письмах, часто казались им неразрешимыми. Иногда так и было на самом деле: решения самого Ферма оказывались ошибочными. Особо конфронтационной была переписка Ферма с Рене Декартом. «Выскочка из Тулузы» осмеливался оспаривать некоторые суждения «великого координатора». Свой ответ на одно из писем Ферма Декарт даже назвал «Малый процесс Математики против господина Ферма», возможно, намекая на основной род занятий оппонента.

Как и большинство ученых-современников, Ферма интересовался самым широким кругом математических проблем. Его не без основания считают одним из основоположников теории чисел. Ферма создал универсальный метод нахождения делителей произвольного числа, открыл теорему, согласно которой произвольное число можно представить суммой не более четырех квадратов. Также ему принадлежит честь открытия двух «именных» теорем: «малой» и «большой». Эти теоремы сыграли большую роль в развитии теории чисел. «Малая» теорема гласит: для любого простого p и любого a > = 1, которое не делится на p, разность a^p–1–1 делится на p. Несколько видоизмененная «малая теорема» Ферма стала самым простым и эффективным способом нахождения простых чисел. Интересно, что изложив эту теорему в одном из писем, Ферма сделал приписку: «Я бы Вам прислал доказательство, если бы не опасался быть слишком длинным». Доказательств этой теоремы Ферма не оставил, возможно, потому, что не имел их. «Малая теорема» Ферма была доказана Лейбницем.

Об истории «большой теоремы» Ферма следует рассказать поподробнее. Как мы уже писали в начале статьи, сам Ферма на полях «Арифметики» Диофанта изложил теорему и сообщил, что нашел ее доказательство. Но записи самого доказательства Ферма не оставил. По мнению современных ученых, Ферма и не доказал свою знаменитую теорему, а либо создал ошибочное доказательство, либо сознательно ввел в заблуждение своих коллег. В пользу такой точки зрения, например, свидетельствует тот факт, что позднее сам Ферма вывел доказательства своей теоремы только для частных случаев: X⁴ + Y⁴ = Z⁴ и X³ + Y³ = Z³. На протяжении трех с лишним веков математики всего мира пытались найти доказательство теоремы Ферма в общем виде с такой же настойчивостью, с какой алхимики искали философский камень. Также появлялись предположения, что теорема неверна, но это тоже необходимо было доказать.

В XVIII в. Леонард Эйлер повторил утерянные доказательства Ферма для степеней 4 и 3, но с доказательством для степени 5 не справился. Однако в ходе работы над этой проблемой Эйлер ввел так называемые комплексные числа[26]. С доказательством теоремы для n = 5 справился француз Лежандр (1752–1833), для 7-й степени – немец Дирихле (1805–1859). Работали над теоремой Ферма и такие ученые, как Гаусс, Галуа, Куммер (1810–1893). Все эти ученые внесли колоссальный вклад в развитие теории чисел, поскольку попытки доказать «упрямую» теорему привели к громадному числу математических открытий и появлению большого количества новых теорий и направлений математики.

Несмотря на трехвековую осаду, в результате которой под натиском математиков падали все новые и новые частные случаи, цитадель, т. е. доказательство теоремы в общем виде, оставалась непокоренной практически до конца XX века. В 1908 году немец Вольфскель завещал премию в сто тысяч марок тому, кто докажет теорему. Это вызвало новый массовый штурм, ни к чему, однако, не приведший. Например, Геттингенское математическое общество только за три года получило более тысячи неверных доказательств. Его сотрудники даже заготовили бланк «Ваше доказательство содержит ошибку на стр. _____, которая заключается в том, что ______». В научном мире появилось полупрезрительное слово «ферматист», которым называли математиков, пытавшихся найти доказательство теоремы. При этом справедливость самой теоремы не вызывала сомнений. Позже с помощью компьютеров она была подтверждена для степеней меньше 5500.