Симметрическая группа

Симметри'ческая гру'ппаn-й степени, группа , состоящая из всех перестановок nобъектов. В С. г. n! элементов. Перестановки С. г. с чётным числом инверсии образуют знакопеременную, или полусимметрическую, подгруппу С. г., имеющую n!/2 элементов.

Симметрическая матрица

Симметри'ческая ма'трица,квадратная матрица S= ll s _ikll, в которой любые два элемента, симметрично расположенные относительно главной диагонали, равны между собой: s _ik= s _ki( i, k =1,2,..., n). С. м. часто рассматривается как матрица коэффициентов некоторой квадратичной формы ; между теорией С. м. и теорией квадратичных форм существует тесная связь.

В  Спектральные свойства РЎ. Рј. СЃ действительными элементами: 1) РІСЃРµ РєРѕСЂРЅРё l ₁, l ₂,..., l _n характеристического уравнения РЎ. Рј. действительны; 2) этим РєРѕСЂРЅСЏРј соответствуют nпопарно ортогональных собственных векторов РЎ. Рј. ( n- РїРѕСЂСЏРґРѕРє РЎ. Рј.). РЎ. Рј. СЃ действительными элементами всегда представима РІ РІРёРґРµ: S'= ODO ^-1

  где О ортогональная матрица , а

В  .

Симметрические функции

Симметри'ческие фу'нкции,функции нескольких переменных, не изменяющиеся при любых перестановках переменных, например  или . Особое значение в алгебре имеют симметрические многочлены (с. м.) и среди них - элементарные симметрические многочлены (э. с. м.) - функции

  , , , …, ,

В  РіРґРµ СЃСѓРјРјС‹ распространены РЅР° комбинации неравных между СЃРѕР±РѕР№ чисел k, l,...; РѕРЅРё имеют первую степень относительно каждого РёР· переменных. Согласно формулам Виета, x ₁, x ₂,..., x _nявляются РєРѕСЂРЅСЏРјРё уравнения:

В  x ⁿ- f ₁x ^n-1+ f ₂x ^n-2-В·В·В· +(- 1) ⁿf _n= 0.

Согласно РѕСЃРЅРѕРІРЅРѕР№ теореме теории РЎ. С„., любой СЃ. Рј. представляется как многочлен РѕС‚ СЌ. СЃ. Рј., Рё притом только единственным образом: F( x ₁, x ₂., ..., x _n) = G( f ₁, f ₂,..., f _n); если РІСЃРµ коэффициенты РІ Fцелые, то Рё коэффициенты РІ G целые. Р�ными словами, РІСЃСЏРєРёР№ СЃ. Рј. РѕС‚ корней уравнения выражается целым рациональным образом через его коэффициенты; например,

В  .

 Другим важным классом С. ф. являются степенные суммы

В  .

  Они связаны с э. с. м. формулами Ньютона

В  s _i- f ₁s _l-1+ f ₂s _l-2+ В·В·В· + (- 1) ^l f _l= 0, ,

В  Рё

В  s _n+l- f ₁s _n+l-1+ В·В·В· +(-1) ⁿ f _ns _l=0,

В  ,

  позволяющими последовательно выражать f _kчерез s _rnи обратно.

В  Функция называется кососимметрической, или знакопеременной, если РѕРЅР° РЅРµ изменяется РїСЂРё чётных перестановках x ₁, x ₂, ..., x _nРё меняет знак РїСЂРё нечётных перестановках. Такие функции рационально выражаются через f ₁, f ₂, ..., f _nРё разностное произведение (СЃРј. Дискриминант ) D = Рџ _Рє<1( x _k- x _l), квадрат которого является РЎ. С„. Рё потому рационально выражается через f ₁, f ₂,..., f _n.

  Лит.:Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971.

Симметричность

Симметри'чностьв математике и логике, свойство бинарных (двуместных, двучленных) отношений , выражающее независимость выполнимости данного отношения для какой-либо пары объектов от порядка, в котором эти объекты входят в пару: отношение Rназывается симметричным, если для любых объектов xи yиз области определения xRyвлечёт yRx. Примерами симметричных отношений служат отношения типа равенства ( тождества , эквивалентности , подобия ), их «ослабленные формы» - отношения толерантности (сходства, соседства и т. п.), а также (как следует из данного выше определения) обратные к ним отношения неравенства и др. Отношение Rназывается антисимметричным, если из xRyпри х( уследует щ yRx(отрицание yRx), т. е. если из xRyи yRxнепременно следует х = у, таковы, например, отношения порядка (по величине или какому-либо другому упорядочивающему критерию) между числами или другими объектами, отношение включения между множествами и т. п. В применении к логическим и логико-математическим операциям свойство С. называется коммутативностью (перестановочностью); например, результаты сложения и умножения чисел, объединения и пересечения множеств, дизъюнкция и конъюнкция высказываний (см. Алгебра логики ) не зависят от порядка слагаемых, сомножителей и т. д. Понятия С. и коммутативности естественно обобщаются на случай произвольного числа объектов.

Симметрия (в биологии)

Симметри'яв биологии (биосимметрия). На явление С. в живой природе обратили внимание ещё в Древней Греции пифагорейцы (5 в. до н. э.) в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 в. появились единичные работы, посвященные С. растений (французские учёные О. П. Декандоль, О. Браво), животных (немецкий - Э. Геккель), биогенных молекул (французские - А. Вешан, Л. Пастер и др.). В 20 в. биообъекты изучали с позиций общей теории С. (советские учёные Ю. В. Вульф, В. Н. Беклемишев, Б. К. Вайнштейн, голландский физикохимик Ф. М. Егер, английский кристаллографы во главе с Дж. Берналом) и учения о правизне и левизне (советские учёные В. �. Вернадский, В. В. Алпатов, Г. Ф. Гаузе и др.; немецкий учёный В. Людвиг). Эти работы привели к выделению в 1961 особого направления в учении о С. - биосимметрики.

  Наиболее интенсивно изучалась структурная С. биообъектов. �сследование С. биоструктур - молекулярных и надмолекулярных - с позиций структурной С. позволяет заранее выявить возможные для них виды С., а тем самым число и вид возможных модификаций, строго описывать внешнюю форму и внутреннее строение любых пространственных биообъектов. Это привело к широкому использованию представлений структурной С. в зоологии, ботанике, молекулярной биологии. Структурная С. проявляется прежде всего в виде того или иного закономерного повторения. В классической теории структурной С., развитой немецким учёным �. Ф. Гесселем, Е. С. Федоровым и другими, вид С. объекта может быть описан совокупностью элементов его С., т. е. таких геометрических элементов (точек, линий, плоскостей), относительно которых упорядочены одинаковые части объекта (см. Симметрия в математике). Например, вид С. цветка флокса ( рис. 1 , в) - одна ось 5-го порядка, проходящая через центр цветка; производимые посредством её операции - 5 поворотов (на 72, 144, 216, 288 и 360°), при каждом из которых цветок совпадает с самим собой. Вид С. фигуры бабочки ( рис. 2 , б) - одна плоскость, делящая её на 2 половины - левую и правую; производимая посредством плоскости операция - зеркальное отражение, «делающее» левую половинку правой, правую - левой, а фигуру бабочки совмещающей с самой собой. Вид С. радиолярии Lithocubus geometricus ( рис. 3 , б), помимо осей вращения и плоскостей отражения содержит ещё и центр С. Любая проведённая через такую единственную точку внутри радиолярии прямая по обе стороны от неё и на равных расстояниях встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры. Операции, производимые посредством центра С., - отражения в точке, после которых фигура радиолярии также совмещается сама с собой.

  В живой природе (как и в неживой) из-за различных ограничений обычно встречается значительно меньшее число видов С., чем возможно теоретически. Например, на низших этапах развития живой природы встречаются представители всех классов точечной С. - вплоть до организмов, характеризующихся С. правильных многогранников и шара (см. рис. 3 ). Однако на более высоких ступенях эволюции встречаются растения и животные в основном т. н. аксиальной (вида n) и актиноморфной (вида n( m) С. (в обоих случаях nможет принимать значения от 1 до Ґ). Биообъекты с аксиальной С. (см. рис. 1 ) характеризуются лишь осью С. порядка n. Биообъекты сактиноморфной С. (см. рис. 2 ) характеризуются одной осью порядка nи пересекающимися по этой оси плоскостями m. В живой природе наиболее распространены С. вида n =1 и 1Ч m = m, называется соответственно асимметрией и двусторонней, или билатеральной, С. Асимметрия характерна для листьев большинства видов растений, двусторонняя С. - до известной степени для внешней формы тела человека, позвоночных животных и многих беспозвоночных. У подвижных организмов такая С., по-видимому, связана с различиями их движении вверх-вниз и вперёд-назад, тогда как их движения направо-налево одинаковы. Нарушение у них билатеральной С. неизбежно привело бы к торможению движения одной из сторон и превращению поступательного движения в круговое. В 50-70-х гг. 20 в. интенсивному изучению (прежде всего в СССР) подверглись т. н. диссимметрические биообъекты ( рис. 4 ). Последние могут существовать по крайней мере в двух модификациях - в форме оригинала и его зеркального отражения (антипода). При этом одна из этих форм (неважно какая) называется правой или D (от лат. dextro), другая - левой или L (от лат. laevo). При изучении формы и строения D- и L-биообъектов была развита теория диссимметризующих факторов, доказывающая возможность для любого D- или L-объекта двух и более (до бесконечного числа) модификаций (см. также рис. 5 ); одновременно в ней содержались и формулы для определения числа и вида последних. Эта теория привела к открытию т. н. биологической изомерии (разных биообъектов одного состава; на рис. 5 изображены 16 изомеров листа липы).

  При изучении встречаемости биообъектов было установлено, что в одних случаях преобладают D-, в других L-формы, в третьих они представлены одинаково часто. Бешаном и Пастером (40-е гг. 19 в.), а в 30-х гг. 20 в. советским учёным Г. Ф. Гаузе и другими было показано, что клетки организмов построены только или преимущественно из L-amинокислот, L-белков, D-дезоксирибонуклеиновых кислот, D-сахаров, L-алкалоидов, D- и L-терпенов и т. д. Столь фундаментальная и характерная черта живых клеток, названная Пастером диссимметрией протоплазмы, обеспечивает клетке, как было установлено в 20 в., более активный обмен веществ и поддерживается посредством сложных биологических и физико-химических механизмов, возникших в процессе эволюции. Сов. учёный В. В. Алпатов в 1952 на 204 видах сосудистых растений установил, что 93,2% видов растений относятся к типу с L-, 1,5% - с D-ходом винтообразных утолщений стенок сосудов, 5,3% видов - к типу рацемическому (число D-сосудов примерно равно числу L-сосудов).

  При изучении D- и L-биообъектов было установлено, что равноправие между D-и L-формами в ряде случаев нарушено из-за различия их физиологических, биохимических и др. свойств. Подобная особенность живой природы была названа диссимметрией жизни. Так, возбуждающее влияние L-amинокислот на движение плазмы в растительных клетках в десятки и сотни раз превосходит такое же действие их D-форм. Многие антибиотики (пенициллин, грамицидин и др.), содержащие D-amинокислоты, обладают большей бактерицидностью, чем их формы c L-amинокислотами. Чаще встречающиеся винтообразные L-kopнеплоды сахарной свёклы на 8-44% (в зависимости от сорта) тяжелее и содержат на 0,5-1% больше сахара, чем D-kopнеплоды.

  �зучение наследования признаков у D- и L-форм показало, что их правизна или левизна может быть наследственной, ненаследственной или имеет характер длительной модификации . Это означает, что по крайней мере в ряде случаев правизну-левизну организмов и их частей можно изменить действием мутагенных или немутагенных химических соединений. В частности, D-штаммы (по морфологии колоний) микроорганизма Bacillus mycoides при выращивании их на агаре с D-сахарозой, L-днгитонином, D-винной кислотой можно превратить в L-штаммы, а L-штаммы можно превратить в D-штаммы, выращивая их на агаре с L-винной кислотой и D-аминокислотами. В природе взаимопревращения D- и L-форм могут происходить и без вмешательства человека. При этом смена видов С. в эволюции происходила не только у диссимметрических организмов. В результате возникли многочисленные эволюционные ряды С., специфичные для тех или иных ветвей древа жизни.

  Структурная С. биосистем изучается также с точки зрения более общих типов С. - цветной С., С. подобия, антисимметрии и др.

  Разработка учения о С. биообъектов позволит углубить представления как об их свойствах и функциях, так и о происхождении и сущности жизни .

  Лит.:Гаузе Г. Ф., Асимметрия протоплазмы, М. - Л., 1940; Вайнштейн Б. К., Дифракция рентгеновых лучей на цепных молекулах, М., 1963; Беклемишев В. Н., Основы сравнительной анатомии беспозвоночных, 3 изд., т. 1-2, М., 1964; Урманцев Ю. А., Симметрия природы и природа симметрии, М., 1974; Ludwig W., Das Rechts-Links-Problem im Tierreich und beim Menschen..., B. - Hdib. - N. Y., 1970; Bentley R., Molecular asymmetry in biology, v. 1-2, N. Y., 1969-70.

  Ю. А. Урманцев.

Рис. 3. Биообъекты с совершенной точечной симметрией. Радиолярии: а - шарообразная Ethmosphaera polysyphonia, содержащая бесконечное число осей бесконечного порядка + бесконечное число плоскостей симметрии + центр симметрии; б - кубические Hexastylus marginatus и Lithocubus geometricus, характеризующиеся симметрией куба; в - додекаэдрическая Circorhegma dodecahedra, характеризующаяся симметрией правильных многогранников - додекаэдра и икосаэдра.

Рис. 4. Диссимметрические D- и L-биообъекты: а - цветки анютиных глазок; б - раковины прудовика; в - молекулы винной кислоты; г - листья бегонии.

Рис. 2. Актиноморфная симметрия; а - бабочка; б - лист кислицы; симметрии соответственно 1Чm, 3Чm. Бабочке свойственна двусторонняя, или билатеральная, симметрия.

Р РёСЃ. 5. Лист липы, иллюстрирующий возможность существования диссимметрических объектов более чем РІ РґРІСѓС… (РІ данном случае РІ 16) модификациях. Для листа липы диссфакторы - это 4 морфологических признака: преимущественные ширина (С€) Рё длина (Рґ), асимметричные жилкование (Р¶) Рё загиб главной жилки (Рі). Так как каждый РёР· диссфакторов может проявляться РґРІРѕСЏРєРѕ - РІ (+)- или ( - )-формах - Рё соответственно приводить Рє D- или L-Рјoдификациям, то число возможных модификаций будет 2 ⁴= 16, Р° РЅРµ РґРІРµ.

Рис. 1. Аксиальная симметрия: а - лист плюща; б - медуза Aurelia insulinda; в - цветок флокса. При повороте этих фигур вокруг оси симметрии равные части каждого из них совпадут друг с другом соответственно 1, 4, 5 раз (оси 1, 4, 5-го порядка). Лист плюща асимметричен.

Рис. 3д. Биообъекты с совершенной точечной симметрией. Радиолярии: модель аденовируса в форме икосаэдра.

Рис. 3г. Биообъекты с совершенной точечной симметрией. Радиолярии: частица аденовируса в форме икосаэдра.

Симметрия (в математике)

Симме'трия(от греч. symmetria - соразмерность) в математике,

  1) симметрия (в узком смысле),